ツイッターに流れてきたパズルについてのブログを参考に、高校数学までの知識で考察してみた。
１ 問題
ツイッターに流れてきたパズルについて考察したブログの記事が興味深かったので、自分なりに考えてみた。・ツイッターに流れてきたパズル「164→64、265→130、498→392…」はいわゆる「小学生にも分かるが大学院生でも解けない」良問では？（しいたげられたしいたけ）
・３桁の整数を$100x + 10y + z$とする（$x, y, z$は０～９の整数）。$x(10y + z) = z(10x + y)$となる整数を求めよ。
確かに、すべての組合せは10×10×10＝1000通りなので、Excelの関数を使えば答えは出せる。
この式を変形すると$10xy + zx = 10zx + yz$
$10xy = (9x + y)z$
$z = \dfrac{10xy}{9x + y}$
２ 関数
$z = \dfrac{10xy}{9x + y}$の$x, y$に０以上９以下の整数の組合せを代入して、$z$の値が０以上９以下の整数になる組合せを探せばよいと考えれば、10×10＝100通りを計算すればよさそうである。Excelの関数を使えば計算できそうである。
式をもう一度見てみると、$z(9x + y) = 10xy$なので、$z$の値によって場合分けすれば、手計算でも何とかなりそうである。
（0）$z = 0$の場合
$x = 0$かつ$y = 0$の場合は、０００。$x = 0$の場合は、０１０、０２０、・・・、０８０、０９０。
$y = 0$の場合は、１００，２００、・・・８００、９００。
（1）$z = 1$の場合
$9x + y = 10xy$$(10x - 1)y = 9x$
$y = \dfrac{9x}{10x - 1} = \dfrac{\dfrac{9}{100}}{x - \dfrac{1}{10}} + \dfrac{9}{10}$
$x = 1$のとき、$9y = 9$、$y = 1$
$y$の値はグラフより、$\dfrac{9}{10} < y \leq 1$
よって、$x = y = z = 1$の場合は、１１１。
あと、$x = y = 0, z = 1$の場合は、００１。
（2）$z = 2$の場合
$2(9x + y) = 10xy$$(5x - 1)y = 9x$
$y = \dfrac{9x}{5x - 1} = \dfrac{\dfrac{9}{25}}{x - \dfrac{1}{5}} + \dfrac{9}{5}$
$x = 1$のとき、$4y = 9$、$y = \dfrac{9}{4}$
$y$の値はグラフより、$\dfrac{9}{5} < y < \dfrac{9}{4}$
$y = 2$のとき、$9x + 2 = 10x$、$x = 2$
よって、$x = y = z = 2$の場合は、２２２。
あと、$x = y = 0, z = 2$の場合は、００２。
（3）$z = 3$の場合
$3(9x + y) = 10xy$$(10x - 3)y = 27x$
$y = \dfrac{27x}{10x - 3} = \dfrac{\dfrac{81}{100}}{x - \dfrac{3}{10}} + \dfrac{27}{10}$
$x = 1$のとき、$7y = 27$、$y = \dfrac{27}{7}$
$y$の値はグラフより、$\dfrac{27}{10} < y < \dfrac{27}{7}$
$y = 3$のとき、$27x + 9 = 30x$、$3x = 9$、$x = 3$
よって、$x = y = z = 3$の場合は、３３３。
あと、$x = y = 0, z = 3$の場合は、００３。
（4）$z = 4$の場合
$2(9x + y) = 5xy$$(5x - 2)y = 18x$
$y = \dfrac{18x}{5x - 2} = \dfrac{\dfrac{36}{25}}{x - \dfrac{2}{5}} + \dfrac{18}{5}$
$y$の値はグラフより、$\dfrac{18}{5} < y \leq 6$
$y = 4$のとき、$18x + 8 = 20x$、$2x = 8$、$x = 4$
$y = 5$のとき、$18x + 10 = 25x$、$7x = 10$、$x = \dfrac{10}{7}$
よって、$x = 1, y = 6, z = 4$の場合は、１６４。
$x = y = z = 4$の場合は、４４４。
あと、$x = y = 0, z = 4$の場合は、００４。
（5）$z = 5$の場合
$9x + y = 2xy$$(2x - 1)y = 9x$
$y = \dfrac{9x}{2x - 1} = \dfrac{\dfrac{9}{4}}{x - \dfrac{1}{2}} + \dfrac{9}{2}$
$y$の値はグラフより、$\dfrac{9}{2} < y \leq 9$
$y = 5$のとき、$9x + 5 = 10x$、$x = 5$
$y = 6$のとき、$9x + 6 = 12x$、$3x = 6$、$x = 2$
$y = 7$のとき、$9x + 7 = 14x$、$5x = 7$、$x = \dfrac{7}{5}$
$y = 8$のとき、$9x + 8 = 16x$、$7x = 8$、$x = \dfrac{8}{7}$
よって、$x = 1, y = 9, z = 5$の場合は、１９５。
$x = 2, y = 6, z = 5$の場合は、２６５。
$x = y = z = 5$の場合は、５５５。
あと、$x = y = 0, z = 5$の場合は、００５。
（6）$z = 6$の場合
$3(9x + y) = 5xy$$(5x - 3)y = 27x$
$y = \dfrac{27x}{5x - 3} = \dfrac{\dfrac{81}{25}}{x - \dfrac{3}{5}} + \dfrac{27}{5}$
$y$の値はグラフより、$\dfrac{27}{5} < y \leq 9$
$y = 6$のとき、$27x + 18 = 30x$、$3x = 18$、$x = 6$
$y = 7$のとき、$27x + 21 = 35x$、$8x = 21$、$x = \dfrac{21}{8}$
$y = 8$のとき、$27x + 24 = 40x$、$13x = 24$、$x = \dfrac{24}{13}$
$y = 9$のとき、$27x + 27 = 45x$、$18x = 27$、$x = \dfrac{3}{2}$
よって、$x = y = z = 6$の場合は、６６６。
あと、$x = y = 0, z = 6$の場合は、００６。
（7）$z = 7$の場合
$7(9x + y) = 10xy$$(10x - 7)y = 63x$
$y = \dfrac{63x}{10x - 7} = \dfrac{\dfrac{441}{100}}{x - \dfrac{7}{10}} + \dfrac{63}{10}$
$y$の値はグラフより、$\dfrac{63}{10} < y \leq 9$
$y = 7$のとき、$63x + 49 = 70x$、$7x = 49$、$x = 7$
$y = 8$のとき、$63x + 56 = 80x$、$17x = 56$、$x = \dfrac{56}{17}$
$y = 9$のとき、$63x + 63 = 90x$、$27x = 63$、$x = \dfrac{7}{3}$
よって、$x = y = z = 7$の場合は、７７７。
あと、$x = y = 0, z = 7$の場合は、００７。
（8）$z = 8$の場合
$4(9x + y) = 5xy$$(5x - 4)y = 36x$
$y = \dfrac{36x}{5x - 4} = \dfrac{\dfrac{144}{25}}{x - \dfrac{4}{5}} + \dfrac{36}{5}$
$y$の値はグラフより、$\dfrac{36}{5} < y \leq 9$
$y = 8$のとき、$36x + 32 = 40x$、$4x = 32$、$x = 8$
$y = 9$のとき、$36x + 36 = 45x$、$9x = 36$、$x = 4$
よって、$x = 4, y = 9, z = 8$の場合は、４９８。
$x = y = z = 8$の場合は、８８８。
あと、$x = y = 0, z = 8$の場合は、００８。
（9）$z = 9$の場合
$9(9x + y) = 10xy$$(10x - 9)y = 81x$
$y = \dfrac{81x}{10x - 9} = \dfrac{\dfrac{729}{100}}{x - \dfrac{9}{10}} + \dfrac{81}{10}$
$y$の値はグラフより、$\dfrac{81}{10} < y \leq 9$
$y = 9$のとき、$81x + 81 = 90x$、$9x = 81$、$x = 9$
よって、$x = y = z = 9$の場合は、９９９。
あと、$x = y = 0, z = 9$の場合は、００９。
３ 整数論
あとは３桁の整数（変換前、そして変換後も？）という条件に照らして、結果を見てみればいいと思う。個人的にはここまででお腹いっぱいになってしまったので、整数論的な考察をネットなどで拝見することがあればまた考えてみたい。
数論とか苦手だから、多分これ以上は考察できない（考察できても記事にできない）と思う。