東三河狂人日記

問６ （１）【最頻値、中央値、平均値】 　データを小さい順に並べると $250, 250, 280, 280, 280, 280, 280, 280, 280, 280, 280, 280, 300, 400, 400, 400$ 最頻値は280円、中央値は280円、平均値は $\dfrac{250 \cdot 2 + 280 \cdot 10 + 300 \cdot 1 + 400 \cdot 3}{2 + 10 + 1 + 3}$ $= \dfrac{500 + 2800 + 300 + 1200}{16} = \dfrac{4800}{16} = 300$（円） （２）【箱ひげ図と外れ値】 　第１四分位数：$12$、第３四分位数：$18$、四分位範囲：$18 - 12 = 6$ ・$\text{第１四分位数} - 1.5 \times \text{四分位範囲} = 12 - 1.5 \cdot 6 = 12 - 9 = 3$ ・$\text{第３四分位数} + 1.5 \times \text{四分位範囲} = 18 + 1.5 \cdot 6 = 18 + 9 = 27$ よって、外れ値は$30$である。 （３）【分散】 　平均値の$7$点は変化しないが、$n$は$39$から$40$になる。 分散$\dfrac{(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2 }{n}$は、 分子は変わらないが（$x_{40} - \overline{x} = 7 - 7 = 0$）、分母が大きくなる（$39 \to 40$）。 よって、$5$より小さくなる。 （４）【平均点と相関係数】 　リスニングの平均点は変化せず、ライティングの平均点は減少し、相関係数は増加する。 ・ 令和７年度第２回高認数学過去問解説に戻る。

問５ （１）【文章題（三角比）】 $\mathrm{AC} = 20 \times \sin 36^{\circ} + 2$ （２）【$90^{\circ} − \theta$の三角比】 $\sin 36^{\circ} = \cos (90^{\circ} − 36^{\circ}) = \cos 54^{\circ}$ （３）【鈍角を含む三角比（$180^{\circ} − \theta$の三角比）】 $\cos 120^{\circ} = -\dfrac{1}{2}$ 　ちなみに $\cos 120^{\circ} = -\cos (180^{\circ} - 120^{\circ}) = -\cos 60^{\circ}= -\dfrac{1}{2}$ （４）【余弦定理】 $b^2 = c^2 + a^2 - 2ca\cos 44^{\circ}$ （５）【三角形の面積】 　三角形ABCの面積を$S$とおくと $S = \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cdot \sin \angle \mathrm{B}$ $= \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 30^{\circ} = 20 \cdot \dfrac{1}{2} = 10$ よって、三角形ABCの面積は$10\mathrm{cm}^2$である。 ・ 令和７年度第２回高認数学過去問解説に戻る。

問４ （１）【二次関数の最大値と最小値】 　２次関数$y = -2(x − 1)^2 + 4$のグラフは $x = 1$で最大値$4$をとり、最小値はない。 （２）【二次関数のグラフと$x$軸との共有点（二次方程式）】 　$2x^2 − 11x + 5 = 0$を二次方程式の解の公式で解くと $x = \dfrac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2} = \dfrac{11 \pm \sqrt{121 - 40}}{4}$ $= \dfrac{11 \pm \sqrt{81}}{4} = \dfrac{11 \pm 9}{4} = \dfrac{11 + 9}{4}, \dfrac{11 - 9}{4} = \dfrac{20}{4}, \dfrac{2}{4} = 5, \dfrac{1}{2}$ よって、$y = 2x^2 − 11x + 5$のグラフと$x$軸との共有点の座標は$(5, 0), \left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$である。 　ちなみに、$2x^2 − 11x + 5 = 0$を因数分解で解くと $(2x - 1)(x - 5) = 0$ よって、$x = \dfrac{1}{2}, 5$ （３）【二次不等式】 　$y = (2x + 1)(x - 3)$のグラフは よって、$(2x + 1)(x - 3) > 0$の解は $x < -\dfrac{1}{2}, 3 < x$（①） ・ 令和７年度第２回高認数学過去問解説に戻る。

問３ （１）【二次関数】 ① $y = 200x$（一次関数） ② $y = \dfrac{4x}{2} = 2x$（一次関数） ③ $y = \pi x^2$（二次関数） ④ $y = 10x$（一次関数） （２）【二次関数の平行移動】 　２次関数$y = 2x^2$のグラフを$y$軸方向に$4$だけ平行移動すると、２次関数$y = 2x^2 + 4$のグラフと重なる。 （３）【二次関数の平方完成】 $y = x^2 − 8x + 8 = (x^2 - 8x) + 8$ $= \{(x - 4)^2 - 16\} + 8 = (x - 4)^2 - 16 + 8$ $= (x - 4)^2 - 8$ ・ 令和７年度第２回高認数学過去問解説に戻る。

問２ （１）【一次不等式】 ① $-7x - 14 \geq 0$ $-7x \geq 14$ $x \leq -2$ ② $-7x + 14 \geq 0$ $-7x \geq -14$ $x \leq 2$ ③ $-7x - 14 \leq 0$ $-7x \leq 14$ $x \geq -2$ ④ $-7x + 14 \leq 0$ $-7x \leq -14$ $x \geq 2$ （２）【文章題】 　購入する備蓄水を$x$本とする。 ガソリン代と備蓄水の購入費用の合計は、スーパーマーケットで購入すると$120x + 170$円、ホームセンターで購入すると$90x + 510$円である。 $120x + 170 > 90x + 510$ $120x - 90x > 510 - 170$ $30x > 340$ $x > \dfrac{340}{30} = \dfrac{34}{3} = 11.3\cdots$ スーパーマーケットよりホームセンターの方が安くなるのは、備蓄水を12本以上購入するときである。 ・ 令和７年度第２回高認数学過去問解説に戻る。

問１ 【式の展開と乗法公式、数の分類、集合】 問２ 【一次不等式、文章題】 問３ 【二次関数、グラフの平行移動、平方完成】 問４ 【二次関数の最大値と最小値、二次関数のグラフと$x$軸との共有点（二次方程式）、二次不等式】 問５ 【三角比、文章題、$90^{\circ} − \theta$の三角比、鈍角を含む三角比（$180^{\circ} − \theta$の三角比）、余弦定理、三角形の面積】 問６ 【最頻値、中央値、平均値、箱ひげ図と外れ値、分散、平均点と相関係数】 ・ 高等学校卒業程度認定試験（高認）数学過去問解説に戻る。

問１ （１）【式の展開と乗法公式】 $(2a - b)(2a - b + 1) = (2a - b)\{(2a - b) + 1\}$ $= (2a - b)^2 + (2a - b) = 4a^2 - 4ab + b^2 + 2a - b$ $= 4a^2 + b^2 - 4ab + 2a - b$ （２）【数の分類】 ① $a, b$を自然数とするとき、$a + b, ab$は常に自然数である。（よって、間違っている。×） ② $a, b$を整数とするとき、$a + b, a - b, ab$は常に整数である。（よって、間違っている。×） ③ $a, b$を有理数とするとき、$a + b, a - b, ab, \dfrac{a}{b}$は常に有理数である。（正しい。○） ④ $a, b$を実数とするとき、$a + b, a - b, ab, \dfrac{a}{b}$は常に実数である。（正しい。○） （３）【集合】 　$\overline{A} \cap B$である。 ・ 令和７年度第２回高認数学過去問解説に戻る。

問６ （１）【平均値、中央値、最頻値、最小値】 　データを小さい順に並べると$15, 17, 22, 22, 25, 26, 27$ 平均値は$\dfrac{15 + 17 + 22 + 22 + 25 + 26 + 27}{7} = \dfrac{154}{7} = 22$ 中央値は$22$、最頻値は$22$、最小値は$15$ （２）【箱ひげ図】 I：テストAには90点を超えた生徒はいるが、テストBでは90点を超えた生徒はいない。（読み取れる。） II：70点以上の生徒は、テストAでは少なくとも50人おり、テストBでは少なくとも100人いる。（読み取れる。） III：テストAの平均値は60点で、テストBの平均値は70点である。（読み取れない。） （３）【分散と標準偏差】 　A店とB店のデータをそれぞれ小さい順に並べると $92, 93, 95, 95, 98, 100, 100, 104, 106, 117$ $97, 98, 98, 98, 99, 101, 101, 101, 103, 104$ 　A店の分散は$50.8$、B店の分散は$5.0$なので、標準偏差はA店の方が大きく、標準偏差をもとに考えると、散らばり具合はA店の方が大きい。 （４）【仮説検定】 　200セットのうち７枚以上表が出るセット数の割合は $\dfrac{27 + 5 + 2 + 0}{200} = \dfrac{34}{200} = \dfrac{17}{100} = 0.17 > 0.05$ “１回の対戦で、Aが勝利するか、Bが勝利するかは偶然によって決まる”という仮説は、誤っていると判断できない。 よって、「Aの方が強い」とはいえない（偶然である可能性を否定できない）。（②） ・ 令和７年度第１回高認数学過去問解説に戻る。

問５ （１）【文章題（三角比）】 $\mathrm{AC} = 5 \times \dfrac{1}{\cos 57^{\circ}}$ （２）【$90^{\circ} − \theta$の三角比】 $\sin 57^{\circ} = \cos(90^{\circ} − 57^{\circ}) = \cos 33^{\circ}$ （３）【三角比の相互関係】 $\sin A = \dfrac{3}{4}$（$A$は鋭角）のとき $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^2}$ $= \sqrt{1 - \dfrac{9}{16}} = \sqrt{\dfrac{16 - 9}{16}} = \sqrt{\dfrac{7}{16}} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$ （４）【余弦定理】 $\mathrm{BC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 − 2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \cos A$ $= 5^2 + 5^2 − 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \dfrac{3}{10} = 25 + 25 − 10 \cdot 5 \cdot \dfrac{3}{10} = 50 - 15 = 35$ $\mathrm{BC} > 0$なので$\mathrm{BC} = \sqrt{35}$ よって、BCの長さは$\sqrt{35}$cmである。 （５）【三角形の面積】 　三角形ABCの面積を$S$とおくと $S = \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \sin A$ $= \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 2}{2 \cdot 5} = 4$ よって、三角形ABCの面積は$4\mathrm{cm}^2$である。 ・ 令和７年度第１回高認数学過去問解説に戻る。

問４ （１）【二次関数の最大値】 　２次関数$y = 2(x - 2)^2 + k \; (0 \leq x\leq 1)$は$x = 0$のときに最大である。 最大値$2(0 - 2)^2 + k = 2(-2)^2 + k = 8 + k$が$10$なので $8 + k = 10$ $k = 10 - 8 = 2$ （２）【二次関数のグラフと$x$軸との共有点（二次方程式）】 　$x^2 - 6x + 9 = 0$を二次方程式の解の公式で解くと $x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$ $= \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2} = \dfrac{6 \pm 0}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$ よって、$y = x^2 - 6x + 9$のグラフと$x$軸との共有点の座標は$(3,0)$で、共有点の個数は１個である。 　ちなみに、$x^2 - 6x + 9 = 0$を因数分解で解くと $(x - 3)^2 = 0$ よって、$x = 3$ （３）【二次不等式】 　$y = -x^2 - 3x + 10 = -(x^2 + 3x - 10) = -(x - 2)(x + 5)$のグラフは よって、$-(x - 2)(x + 5) > 0$の解は $−5 < x < 2$（①） ・ 令和７年度第１回高認数学過去問解説に戻る。

問３ （１）【二次関数】 ① $y = 2x$（一次関数） ② $y = 3x^2 + 2x + 1$（二次関数） ③ $y = -x^2 + 2$（二次関数） ④ $y = \dfrac{2}{x}$（分数関数（反比例の式）） （２）【二次関数のグラフ】 　２次関数$y = -2(x + 1)^2$のグラフの概形は （３）【二次関数の平方完成】 $y = x^2 - 2x + 3 = \{(x - 1)^2 - 1\} + 3$ $= (x - 1)^2 - 1 + 3 = (x - 1)^2 + 2$ よって、頂点の座標は、$(1, 2)$である。 ・ 令和７年度第１回高認数学過去問解説に戻る。

問２ （１）【一次不等式】 $\dfrac{1 - x}{3} > 2$ 両辺に$3$をかけて $\dfrac{1 - x}{3} \times 3 > 2 \times 3$ $1 - x > 6$ $-x > 6 - 1$ $-x > 5$ 両辺に$-1$をかけて $-x \times (-1) < 5 \times (-1)$ $x < -5$ （２）【文章題】 $15000 + 25(x - 500) \leq 20000$（②） これを解くと $25(x - 500) \leq 20000 - 15000$ $25(x - 500) \leq 5000$ $x - 500 \leq \dfrac{5000}{25}$ $x - 500 \leq 200$ $x \leq 200 + 500$ $x\leq 700$ ・ 令和７年度第１回高認数学過去問解説に戻る。

問１ 【因数分解、分母の有理化、集合と命題】 問２ 【一次不等式、文章題】 問３ 【二次関数、グラフの概形、平方完成】 問４ 【二次関数の最大値、二次関数のグラフと$x$軸との共有点（二次方程式）、二次不等式】 問５ 【三角比、文章題、三角比の相互関係、余弦定理、三角形の面積】 問６ 【平均値、中央値、最頻値、最小値、箱ひげ図、分散と標準偏差、仮説検定】 ・ 高等学校卒業程度認定試験（高認）数学過去問解説に戻る。

問１ （１）【因数分解】 $2x^2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1)$ （２）【分母の有理化】 　$\dfrac{1}{\sqrt{5} + 2}$の分子と分母の両方に$\sqrt{5} - 2$かける（⑥）と $\dfrac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \dfrac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2}$ $= \dfrac{\sqrt{5} - 2}{5 - 4} = \dfrac{\sqrt{5} - 2}{1} = \sqrt{5} - 2$ （３）【集合と命題】 　命題「$x < 2$ならば$x < 3$である」は真である。 ・ 令和７年度第１回高認数学過去問解説に戻る。

問６ （１）【四分位数、四分位範囲】 第１四分位数は$23$、中央値（第２四分位数）は$\dfrac{24 + 27}{2} = \dfrac{51}{2} = 25.5$、第３四分位数は$30$である。 四分位範囲は$30 - 23 = 7$ ・$\text{第１四分位数} - 1.5 \times \text{四分位範囲} = 23 - 1.5 \times 7 = 23 - 10.5 = 12.5$ ・$\text{第３四分位数} + 1.5 \times \text{四分位範囲} = 30 + 1.5 \times 7 = 30 + 10.5 = 40.5$ よって、データの最大値（$42$）だけが外れ値である。（①） （２）【分散】 　データを小さい値から順に並べると $2, 3, 5, 6, 6, 8$ 分散は$\dfrac{(2 - 5)^2 + (3 - 5)^2 + (6 - 5)^2 \times 2 + (8 - 5)^2}{6}$ $= \dfrac{(-3)^2 + (-2)^2 + 1^2 \times 2 + 3^2}{6} = \dfrac{9 + 4 + 2 + 9}{6} = \dfrac{24}{6} = 4$ （３）【相関係数】 　①は正の相関が強く、②は負の相関が強い。他は相関がない。 相関係数は、正の相関が強ければ$1$近づき、負の相関が強ければ$-1$に近づく。 よって、相関係数が最も小さいものは②である。 （４）【仮説検定】 　200セットのうち20枚以上表が出るセット数の割合は $\dfrac{4 + 2 + 1 + 1}{200} = \dfrac{8}{200} = \dfrac{4}{100} = 0.04$ ・I：基準となる確率$p = 0.05$のとき、$0.04 < p$ ・II：基準となる確率$p = 0.01$のとき、$0.04 > p$ I：“「おいしくなった」と回答するかしないかは偶然によって決まる”という仮説は、誤っていると判断できる（偶然ではない）。 よって、「おいしくなった」といえる。 II：“「おいしくなった」と回答するかしないかは偶然によって決まる”という仮説は、誤っているとはいえない（偶然である可能性を否定できない）。 よって、「おいしくなった」とはいえない。 （③） ・...

問５ （１）【文章題（三角比）】 $\tan \angle\mathrm{ABC} = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3} = 0.33\cdots$ $0.3249 < 0.\dot{3} < 0.3443$ $\tan 18^{\circ} < \tan \angle\mathrm{ABC} < \tan 19^{\circ}$ よって、$\angle\mathrm{ABC}$の大きさは、$18^{\circ}$以上$19^{\circ}$未満である。（③） （２）【$180^{\circ} − \theta$の三角比】 $\sin 164^{\circ} = \sin (180^{\circ} − 164^{\circ}) = \sin 16^{\circ}$ （３）【三角比の符号】 　$\sin 160^{\circ}$は正であり、$\cos 160^{\circ}$は負である。（②） （４）【余弦定理】 $\mathrm{AB}^2 = \mathrm{BC}^2 + \mathrm{CA}^2 − 2 \cdot \mathrm{BC} \cdot \mathrm{CA} \cdot \cos \angle\mathrm{C}$ $= 1^2 + (\sqrt{2})^2 − 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos 135^{\circ} = 1 + 2 − 2\sqrt{2} \cdot (-\cos 45^{\circ})$ $= 3 − 2\sqrt{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = 3 + 2 = 5$ $\mathrm{AB} > 0$なので$\mathrm{AB} = \sqrt{5}$ よって、ABの長さは$\sqrt{5}$cmである。 （５）【正弦定理】 $2R = \dfrac{\mathrm{BC}}{\sin \angle\mathrm{A}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}}$ $= \sqrt{3} \div \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}} = 2$ $R = 1$ ...

問４ （１）【二次関数の最大値・最小値】 　$y = (x + 2)^2 + 1$のグラフは下に凸で、頂点の座標は$(-2, 1)$である。 よって、$x = -2$で最小値をとり、最大値はない。（①） （２）【二次関数のグラフと$x$軸との共有点（二次方程式）】 $y = x^2 - 2x = x(x - 2)$ $x(x - 2) = 0$の解は$x = 0, 2$ よって、2次関数$y = x^2 - 2x$のグラフと$x$軸との共有点の個数は２個である。 （３）【二次不等式】 ① $(x + 3)^2 < 0$の解：解なし ② $(x + 3)^2 > 0$の解：$x \neq -3$（$-3$を除くすべての実数） ③ $(x + 3)^2 \leq 0$の解：$x = -3$ ④ $(x + 3)^2 \geq 0$の解：すべての実数 ・ 令和６年度第２回高認数学過去問解説に戻る。

問３ （１）【二次関数の文章題】 ① １辺の長さが$x \mathrm{cm}$の立方体の表面積を$y \mathrm{cm}^2$とする。 $y = x^2 \times 6 = 6x^2$（2次関数） ② 時速$40 \mathrm{km}$で$x$時間ドライブしたときの走行距離を$y \mathrm{km}$とする。 $y = 40 \times x = 40x$（1次関数） ③ 周囲が$30 \mathrm{cm}$である長方形において、縦の長さを$x \mathrm{cm}$、面積を$y \mathrm{cm}^2$とする。 $y = x \times \dfrac{30 - 2x}{2} = x(15 - x)$ $= -x^2 + 15x$（2次関数） ④ $40 \mathrm{L}$の水が入っている水そうから、毎分$5 \mathrm{L}$の水が流れていくとき、$x$分後に水そうに残った水の量を$y \mathrm{L}$とする。 $y = 40 - 5 \times x = 40 - 5x = -5x + 40$（1次関数） （２）【二次関数のグラフ】 　2次関数$y = −x^2 + 2$のグラフは上に凸で、頂点の座標は$(0, 2)$である。（③） （３）【二次関数の平方完成】 $y = (x - 1)(x - 3) = x^2 − 4x + 3$ $= (x^2 − 4x) + 3 = \{(x - 2)^2 - 4\} + 3$ $= (x − 2)^2 − 4 + 3 = (x − 2)^2 − 1$ よって、頂点の座標は$(2, -1)$である。 ・ 令和６年度第２回高認数学過去問解説に戻る。

問２ （１）【一次不等式】 $5x + 16 \leq 9x - 4$ $5x - 9x \leq -4 - 16$ $-4x \leq -20$ 両辺を$−4$でわると $\dfrac{-4x}{-4} \geq \dfrac{-20}{-4}$ $x \geq 5$ （２）【文章題】 　$x$クラスが劇（15分）を発表し、$12 - x$クラスがダンス（８分）を発表して、全体で２時間30分、すなわち$2 \times 60 + 30 = 120 + 30 = 150$分以内とするには $15x + 8(12 - x) \leq 150$ $15x + 96 - 8x \leq 150$ $15 - 8x \leq 150 - 96$ $7x \leq 54$ 両辺を$7$でわると $\dfrac{7x}{7} \leq \dfrac{54}{7}$ $x \leq \dfrac{54}{7}$ $\dfrac{54}{7} = 7.71\cdots$なので、劇の発表は、最大７クラス割り当てることができる。 ・ 令和６年度第２回高認数学過去問解説に戻る。

問１ 【因数分解、分母の有理化、集合】 問２ 【一次不等式、文章題】 問３ 【二次関数の文章題、グラフ、平方完成】 問４ 【二次関数の最大値・最小値、二次関数のグラフと$x$軸との共有点（二次方程式）、二次不等式】 問５ 【三角比、文章題、三角比の符号、余弦定理、正弦定理】 問６ 【四分位数、四分位範囲、分散、相関係数、仮説検定】 ・ 高等学校卒業程度認定試験（高認）数学過去問解説に戻る。