R７年度第１回高認数学問５解説

問５

（１）【文章題（三角比）】

$\mathrm{AC} = 5 \times \dfrac{1}{\cos 57^{\circ}}$

（２）【$90^{\circ} − \theta$の三角比】

$\sin 57^{\circ} = \cos(90^{\circ} − 57^{\circ}) = \cos 33^{\circ}$

（３）【三角比の相互関係】

$\sin A = \dfrac{3}{4}$（$A$は鋭角）のとき

$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^2}$

$= \sqrt{1 - \dfrac{9}{16}} = \sqrt{\dfrac{16 - 9}{16}} = \sqrt{\dfrac{7}{16}} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$

（４）【余弦定理】

$\mathrm{BC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 − 2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \cos A$

$= 5^2 + 5^2 − 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \dfrac{3}{10} = 25 + 25 − 10 \cdot 5 \cdot \dfrac{3}{10} = 50 - 15 = 35$

$\mathrm{BC} > 0$なので$\mathrm{BC} = \sqrt{35}$

よって、BCの長さは$\sqrt{35}$cmである。

（５）【三角形の面積】

　三角形ABCの面積を$S$とおくと

$S = \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \sin A$

$= \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 2}{2 \cdot 5} = 4$

よって、三角形ABCの面積は$4\mathrm{cm}^2$である。

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