R７年度第２回高認数学問４解説

問４

（１）【二次関数の最大値と最小値】

　２次関数$y = -2(x − 1)^2 + 4$のグラフは

$x = 1$で最大値$4$をとり、最小値はない。

（２）【二次関数のグラフと$x$軸との共有点（二次方程式）】

　$2x^2 − 11x + 5 = 0$を二次方程式の解の公式で解くと

$x = \dfrac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2} = \dfrac{11 \pm \sqrt{121 - 40}}{4}$

$= \dfrac{11 \pm \sqrt{81}}{4} = \dfrac{11 \pm 9}{4} = \dfrac{11 + 9}{4}, \dfrac{11 - 9}{4} = \dfrac{20}{4}, \dfrac{2}{4} = 5, \dfrac{1}{2}$

よって、$y = 2x^2 − 11x + 5$のグラフと$x$軸との共有点の座標は$(5, 0), \left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$である。

　ちなみに、$2x^2 − 11x + 5 = 0$を因数分解で解くと

$(2x - 1)(x - 5) = 0$

よって、$x = \dfrac{1}{2}, 5$

（３）【二次不等式】

　$y = (2x + 1)(x - 3)$のグラフは

よって、$(2x + 1)(x - 3) > 0$の解は

$x < -\dfrac{1}{2}, 3 < x$（①）

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