R６年度第２回高認数学問５解説

問５

（１）【文章題（三角比）】

$\tan \angle\mathrm{ABC} = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3} = 0.33\cdots$

$0.3249 < 0.\dot{3} < 0.3443$

$\tan 18^{\circ} < \tan \angle\mathrm{ABC} < \tan 19^{\circ}$

よって、$\angle\mathrm{ABC}$の大きさは、$18^{\circ}$以上$19^{\circ}$未満である。（③）

（２）【$180^{\circ} − \theta$の三角比】

$\sin 164^{\circ} = \sin (180^{\circ} − 164^{\circ}) = \sin 16^{\circ}$

（３）【三角比の符号】

　$\sin 160^{\circ}$は正であり、$\cos 160^{\circ}$は負である。（②）

（４）【余弦定理】

$\mathrm{AB}^2 = \mathrm{BC}^2 + \mathrm{CA}^2 − 2 \cdot \mathrm{BC} \cdot \mathrm{CA} \cdot \cos \angle\mathrm{C}$

$= 1^2 + (\sqrt{2})^2 − 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos 135^{\circ} = 1 + 2 − 2\sqrt{2} \cdot (-\cos 45^{\circ})$

$= 3 − 2\sqrt{2} \cdot \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = 3 + 2 = 5$

$\mathrm{AB} > 0$なので$\mathrm{AB} = \sqrt{5}$

よって、ABの長さは$\sqrt{5}$cmである。

（５）【正弦定理】

$2R = \dfrac{\mathrm{BC}}{\sin \angle\mathrm{A}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}}$

$= \sqrt{3} \div \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}} = 2$

$R = 1$

よって$R$は１cmである。

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