R７年度第１回高認数学問４解説

問４

（１）【二次関数の最大値】

　２次関数$y = 2(x - 2)^2 + k \; (0 \leq x\leq 1)$は$x = 0$のときに最大である。

最大値$2(0 - 2)^2 + k = 2(-2)^2 + k = 8 + k$が$10$なので

$8 + k = 10$

$k = 10 - 8 = 2$

（２）【二次関数のグラフと$x$軸との共有点（二次方程式）】

　$x^2 - 6x + 9 = 0$を二次方程式の解の公式で解くと

$x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2} = \dfrac{6 \pm 0}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$

よって、$y = x^2 - 6x + 9$のグラフと$x$軸との共有点の座標は$(3,0)$で、共有点の個数は１個である。

　ちなみに、$x^2 - 6x + 9 = 0$を因数分解で解くと

$(x - 3)^2 = 0$

よって、$x = 3$

（３）【二次不等式】

　$y = -x^2 - 3x + 10 = -(x^2 + 3x - 10) = -(x - 2)(x + 5)$のグラフは

よって、$-(x - 2)(x + 5) > 0$の解は

$−5 < x < 2$（①）

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