大地震周期説とガチャガチャの数学。
１ 大地震周期説
大地震周期説という仮説がある。歴史資料や地質学的な痕跡調査により、過去に発生した大地震のおおよその周期を知ることができる。
よって、一番最近起きた大地震の年にこの周期を足せば、次回起きる大地震の時期をおおよそ予測することができるという仮説である。
ただ、地震発生のメカニズムは相当複雑で、この仮説はおおよその目安にはなるけれど、科学的に信頼できるものではないらしい。
おもしろい仮説ではあると思うので、その確率について考察してみる。
２ 100個の中に１個の当たりが入っているガチャガチャ
（１）今年発生する確率
ある年（０年12月31日）に、ある地域で大地震が発生した。この地震の周期は100年で、今後100年以内に必ず１度だけ大地震が発生する。
・今が１年の場合、今年大地震が発生する確率を$\dfrac{1}{100}$、２年ならば$\dfrac{1}{99}$、３年ならば$\dfrac{1}{98}$、$\cdots$、99年ならば$\dfrac{1}{2}$、100年ならば１とする。
$n$を自然数（$n \leq 100$）とすると、今が$n$年の場合、今年大地震が発生する確率は
$P_0 (n) = \dfrac{1}{100 - (n - 1)} = \dfrac{1}{101 - n}$
たとえば、今が80年の場合、今年発生する確率は
$P_0 (80) = \dfrac{1}{101 - 80} = \dfrac{1}{21} = 0.04761\cdots$
約4.76％である。
（２）$n$回目に当たる確率
100個の中に１個の当たりが入っているガチャガチャを、毎年１回まわすと考えてみる。１回目に当たる確率は$\dfrac{1}{100}$、
２回目に当たる確率は$\dfrac{99}{100} \times \dfrac{1}{99} = \dfrac{1}{100}$、
３回目に当たる確率は$\dfrac{99}{100} \times \dfrac{98}{99} \times \dfrac{1}{98} = \dfrac{1}{100}$、
４回目に当たる確率は$\dfrac{99}{100} \times \dfrac{98}{99} \times \dfrac{97}{98} \times \dfrac{1}{97} = \dfrac{1}{100}$
$\vdots$
99回目に当たる確率も同様に計算して$\dfrac{1}{100}$、
100回目に当たる確率も$\dfrac{1}{100}$。
・５％のガチャガチャ。：https://tanakah17191928.blogspot.com/2020/11/blog-post_67.html
（３）$n$年以内に発生する確率
$n$回以内に当たる確率は、１回目に当たる確率＋２回目に当たる確率＋３回目に当たる確率＋$\cdots$＋$n - 1$回目に当たる確率＋$n$回目に当たる確率である。よって、$\dfrac{n}{100}$
たとえば、80年以内に発生する確率は$\dfrac{80}{100}$なので、80%である。
３ だんだん当たりやすくなるガチャ
（１）$n$年目に発生する確率
100個の中に１個の当たりが入っているガチャガチャとして考えると、１回目に当たる確率も100回目に当たる確率も$\dfrac{1}{100}$である。実際の大地震は、１年目に発生する確率よりも100年目に発生する確率の方が大きいはずである。
１年目に発生する確率から100年目に発生する確率まで、徐々に大きくなっていくように定義したい。
・１年目に発生する確率を$\dfrac{1}{5050}$、２年目ならば$\dfrac{2}{5050}$、３年目ならば$\dfrac{3}{5050}$、$\cdots$、99年目ならば$\dfrac{99}{5050}$、100年目ならば$\dfrac{100}{5050}$とする。
$n$を自然数とすると、$n$年目に大地震が発生する確率は
$Q_1 (n) = \dfrac{n}{5050}$
たとえば、80年目に発生する確率は
$Q_1(80) = \dfrac{80}{5050} = \dfrac{8}{505} = 0.01584\cdots$
約1.58％である。
（２）$n$回以内に当たる確率
$n$回以内に当たる確率は、１回目に当たる確率＋２回目に当たる確率＋３回目に当たる確率＋$\cdots$＋$n − 1$回目に当たる確率＋$n$回目に当たる確率である。$\dfrac{1 + 2 + 3 + \cdots + (n - 1) + n}{5050} = \dfrac{\dfrac{n(1 + n)}{2}}{5050} = \dfrac{n(1 + n)}{10100}$
たとえば、80回以内に当たる確率は
$\dfrac{80 \times 81}{10100} = \dfrac{4 \times 81}{505} = \dfrac{324}{505} = 0.64158\cdots$
約64.16％である。
（３）今年発生する確率
今が１年の場合、今年大地震が発生する確率は$\dfrac{1}{5050}$今が２年の場合、今年発生する確率を$P_1 (2)$とおくと
$\dfrac{5049}{5050} \times P_1 (2) = \dfrac{2}{5050}$
$P_1 (2) = \dfrac{2}{5050} \times \dfrac{5050}{5049} = \dfrac{2}{5049}$
今が３年の場合、今年発生する確率を$P_1 (3)$とおくと
$\dfrac{5049}{5050} \times \dfrac{5047}{5049} \times P_1 (3) = \dfrac{3}{5050}$
$\dfrac{5047}{5050}P_1 (3) = \dfrac{3}{5050}$
$P_1 (3) = \dfrac{3}{5050} \times \dfrac{5050}{5047} = \dfrac{3}{5047}$
今が４年の場合、今年発生する確率を$P_1 (4)$とおくと
$\dfrac{5049}{5050} \times \dfrac{5047}{5049} \times \dfrac{5044}{5047} \times P_1 (4) = \dfrac{4}{5050}$
$\dfrac{5044}{5050}P_1 (4) = \dfrac{4}{5050}$
$P_1 (4) = \dfrac{4}{5050} \times \dfrac{5050}{5044} = \dfrac{4}{5044}$
今が$n$年の場合、今年発生する確率を$P_1 (n)$とおくと
$P_1 (n) = \dfrac{n}{5050 - \dfrac{(n - 1)n}{2}} = \dfrac{2n}{10100 - (n - 1)n} = \dfrac{2n}{10100 - n^2 + n}$
$= \dfrac{-2n}{n^2 - n - 10100} = \dfrac{-2n}{(n + 100)(n - 101)}$
たとえば、今が80年の場合、今年発生する確率は
$P_1 (80) = \dfrac{-160}{180 \times (-21)} = \dfrac{8}{9 \times 21} = \dfrac{8}{189} = 0.04232\cdots$
約4.23％である。
４ だんだん当たりやすくなるガチャ（その２）
（１）$n$年目に発生する確率
以下のように定義してみる。・１年目に発生する確率を$\dfrac{1^2}{338350}$、２年目ならば$\dfrac{2^2}{338350}$、３年目ならば$\dfrac{3^2}{338350}$、$\cdots$、99年目ならば$\dfrac{99^2}{338350}$、100年目ならば$\dfrac{100^2}{338350}$とする。
$n$を自然数（$n \leq 100$）とすると、$n$年目に大地震が発生する確率は
$Q_2 (n) = \dfrac{n^2}{338350}$
たとえば、80年目に発生する確率は
$Q_2 (80) = \dfrac{80^2}{338350} = \dfrac{128}{6767} = 0.01891\cdots$
約1.89％である。
（２）$n$回以内に当たる確率
$n$回以内に当たる確率は、１回目に当たる確率＋２回目に当たる確率＋３回目に当たる確率＋$\cdots$＋$n − 1$回目に当たる確率＋$n$回目に当たる確率である。$\dfrac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + (n − 1)^2 + n^2}{338350} = \dfrac{\dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}}{338350} = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{2030100}$
たとえば、80回以内に当たる確率は
$\dfrac{80 \times 81 \times 161}{2030100} = \dfrac{17388}{33835} = 0.51390\cdots$
約51.39％である。
（３）今年発生する確率
今が１年の場合、今年大地震が発生する確率は$\dfrac{1}{338350}$今が２年の場合、今年発生する確率を$P_2 (2)$とおくと
$\dfrac{338349}{338350} \times P_2 (2) = \dfrac{4}{338350}$
$P_2 (2) = \dfrac{4}{338350} \times \dfrac{338350}{338349} = \dfrac{4}{338349}$
今が３年の場合、今年発生する確率を$P_2 (3)$とおくと
$\dfrac{338349}{338350} \times \dfrac{338345}{338349} \times P_2 (3) = \dfrac{9}{338350}$
$\dfrac{338345}{338350}P_2 (3) = \dfrac{9}{338350}$
$P_2 (3) = \dfrac{9}{338350} \times \dfrac{338350}{338345} = \dfrac{9}{338345}$
今が４年の場合、今年発生する確率を$P_2 (4)$とおくと
$\dfrac{338349}{338350} \times \dfrac{338345}{338349} \times \dfrac{338336}{338345} \times P_2 (4) = \dfrac{16}{338350}$
$\dfrac{338336}{338350}P_2 (4) = \dfrac{16}{338350}$
$P_2 (4) = \dfrac{16}{338350} \times \dfrac{338350}{338336} = \dfrac{16}{338336}$
今が$n$年の場合、今年発生する確率を$P_2 (n)$とおくと
$P_2 (n) = \dfrac{n^2}{338350 - \dfrac{(n - 1)n(2n - 1)}{6}} = \dfrac{6n^2}{2030100 - n(n - 1)(2n - 1)} = \dfrac{6n^2}{2030100 - n(2n^2 - 3n + 1)}$
$= \dfrac{6n^2}{-2n^3 + 3n^2 - n + 2030100} = \dfrac{-6n^2}{2n^3 - 3n^2 + n - 2030100}$
たとえば、今が80年の場合、今年発生する確率は
$P_2 (80) = \dfrac{-38400}{1024000 - 19200 + 80 - 2030100} = \dfrac{-38400}{-1025220} = \dfrac{640}{17087} = 0.03745\cdots$
約3.75％である。
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５ だんだん当たりやすくなるガチャ（その２までの一般化）
（１）$n$年目に発生する確率
周期を$T$とおき、以下のように定義してみる。・１年目に発生する確率を$\dfrac{1^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k}$、２年目ならば$\dfrac{2^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k}$、３年目ならば$\dfrac{3^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k}$、$\cdots$、$T - 1$年目ならば$\dfrac{(T - 1)^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k}$、$T$年目ならば$\dfrac{T^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k}$とする。
$n$を自然数（$n \leq T$）とすると、$n$年目に大地震が発生する確率は
$Q_k (n) = \dfrac{n^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k}$
（２）$n$回以内に当たる確率
$n$回以内に当たる確率は、１回目に当たる確率＋２回目に当たる確率＋３回目に当たる確率＋$\cdots$＋$n − 1$回目に当たる確率＋$n$回目に当たる確率である。$\dfrac{1^k + 2^k + 3^k + \cdots + (n − 1)^k + n^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k} = \dfrac{\displaystyle\sum_{m = 1}^{n} m^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k}$
（３）今年発生する確率
今が１年の場合、今年大地震が発生する確率は$\dfrac{1^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k}$今が２年の場合、今年発生する確率を$P_k (2)$とおくと
$\dfrac{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k - 1^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k} \times P_k (2) = \dfrac{2^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k}$
$P_k (2) = \dfrac{2^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k} \times \dfrac{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k - 1^k} = \dfrac{2^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k - 1^k}$
今が３年の場合、今年発生する確率を$P_k (3)$とおくと
$\dfrac{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k - 1^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k} \times \dfrac{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k - 1^k - 2^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k - 1^k} \times P_k (3) = \dfrac{3^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k}$
$\dfrac{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k - 1^k - 2^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k}P_k (3) = \dfrac{3^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k}$
$P_k (3) = \dfrac{3^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k} \times \dfrac{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k - 1^k - 2^k} = \dfrac{3^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k - 1^k - 2^k}$
今が４年の場合、今年発生する確率を$P_k (4)$とおくと
$\dfrac{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k - 1^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k} \times \dfrac{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k - 1^k - 2^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k - 1^k} \times \dfrac{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k - 1^k - 2^k - 3^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k - 1^k - 2^k} \times P_k (4) = \dfrac{4^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k}$
$\dfrac{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k - 1^k - 2^k - 3^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k}P_k (4) = \dfrac{4^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k}$
$P_k (4) = \dfrac{4^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k} \times \dfrac{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k - 1^k - 2^k - 3^k} = \dfrac{4^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k - 1^k - 2^k - 3^k}$
今が$n$年の場合、今年発生する確率を$P_k (n)$とおくと
$P_k (n) = \dfrac{n^k}{\displaystyle\sum_{m = 1}^{T} m^k - \displaystyle\sum_{m = 1}^{n - 1} m^k}$
$T = 100$として、$k$を０から100まで変化させてみる。
・だんだん当たりやすくなるガチャ（その２までの一般化）（東三河狂人堂動画保管庫）
６ だんだん当たりやすくなるガチャ（その３）
（１）$n$年目に発生する確率
周期を$T$とおき、以下のように定義してみる。・１年目に発生する確率を$\dfrac{1}{\dfrac{r^T - 1}{r - 1}}$、２年目ならば$\dfrac{r}{\dfrac{r^T - 1}{r - 1}}$、３年目ならば$\dfrac{r^2}{\dfrac{r^T - 1}{r - 1}}$、$\cdots$、$T - 1$年目ならば$\dfrac{r^{T - 2}}{\dfrac{r^T - 1}{r - 1}}$、100年目ならば$\dfrac{r^{T - 1}}{\dfrac{r^T - 1}{r - 1}}$とする。確率が指数関数的に大きくなっていく。
$n$を自然数（$n \leq T$）とすると、$n$年目に大地震が発生する確率は
$Q_r (n) = \dfrac{r^{n - 1}}{\dfrac{r^T - 1}{r - 1}} = \dfrac{r^{n - 1} (r - 1)}{r^T - 1}$
（２）$n$回以内に当たる確率
$n$回以内に当たる確率は、１回目に当たる確率＋２回目に当たる確率＋３回目に当たる確率＋$\cdots$＋$n − 1$回目に当たる確率＋$n$回目に当たる確率である。$\dfrac{1 + r + r^2 + \cdots + r^{n − 2} + r^{n - 1}}{\dfrac{r^T - 1}{r - 1}} = \dfrac{\dfrac{r^n - 1}{r - 1}}{\dfrac{r^T - 1}{r - 1}} = \dfrac{r^n - 1}{r^T - 1}$
（３）今年発生する確率
今が１年の場合、今年大地震が発生する確率は$\dfrac{r - 1}{r^T - 1}$今が２年の場合、今年発生する確率を$P_r (2)$とおくと
$\dfrac{r^T - r}{r^T - 1} \times P_r (2) = \dfrac{r(r - 1)}{r^T - 1}$
$P_r (2) = \dfrac{r(r - 1)}{r^T - 1} \times \dfrac{r^T - 1}{r^T - r} = \dfrac{r(r - 1)}{r^T - r}$
今が３年の場合、今年発生する確率を$P_r (3)$とおくと
$\dfrac{r^T - r}{r^T - 1} \times \dfrac{r^T - r^2}{r^T - r} \times P_r (3) = \dfrac{r^2 (r - 1)}{r^T - 1}$
$\dfrac{r^T - r^2}{r^T - 1} \times P_r (3) = \dfrac{r^2 (r - 1)}{r^T - 1}$
$P_r (3) = \dfrac{r^2 (r - 1)}{r^T - 1} \times \dfrac{r^T - 1}{r^T - r^2} = \dfrac{r^2 (r - 1)}{r^T - r^2}$
今が４年の場合、今年発生する確率を$P_r (4)$とおくと
$\dfrac{r^T - r}{r^T - 1} \times \dfrac{r^T - r^2}{r^T - r} \times \dfrac{r^T - r^3}{r^T - r^2} \times P_r (4) = \dfrac{r^3 (r - 1)}{r^T - 1}$
$\dfrac{r^T - r^3}{r^T - 1}\times P_r (4) = \dfrac{r^3 (r - 1)}{r^T - 1}$
$P_r (4) = \dfrac{r^3 (r - 1)}{r^T - 1} \times \dfrac{r^T - 1}{r^T - r^3} = \dfrac{r^3 (r - 1)}{r^T - r^3}$
今が$n$年の場合、今年発生する確率を$P_r (n)$とおくと
$P_r (n) = \dfrac{r^{n - 1} (r - 1)}{r^T - r^{n - 1}} = \dfrac{r - 1}{r^{T + 1 - n} - 1}$
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（$T=100, r = 2$）