大地震周期説とガチャガチャの数学。
1 大地震周期説
大地震周期説という仮説がある。歴史資料や地質学的な痕跡調査により、過去に発生した大地震のおおよその周期を知ることができる。
よって、一番最近起きた大地震の年にこの周期を足せば、次回起きる大地震の時期をおおよそ予測することができるという仮説である。
ただ、地震発生のメカニズムは相当複雑で、この仮説はおおよその目安にはなるけれど、科学的に信頼できるものではないらしい。
おもしろい仮説ではあると思うので、その確率について考察してみる。
2 100個の中に1個の当たりが入っているガチャガチャ
(1)今年発生する確率
ある年(0年12月31日)に、ある地域で大地震が発生した。この地震の周期は100年で、今後100年以内に必ず1度だけ大地震が発生する。
・今が1年の場合、今年大地震が発生する確率を$\dfrac{1}{100}$、2年ならば$\dfrac{1}{99}$、3年ならば$\dfrac{1}{98}$、$\cdots$、99年ならば$\dfrac{1}{2}$、100年ならば1とする。
$n$を自然数とすると、今が$n$年の場合、今年大地震が発生する確率は
$P(n) = \dfrac{1}{100 - (n - 1)} = \dfrac{1}{101 - n}$
たとえば、今が80年の場合、今年発生する確率は
$P(80) = \dfrac{1}{101 - 80} = \dfrac{1}{21} = 0.04761\cdots$
約4.76%である。
(2)$n$回目に当たる確率
100個の中に1個の当たりが入っているガチャガチャを、毎年1回まわすと考えてみる。1回目に当たる確率は$\dfrac{1}{100}$、
2回目に当たる確率は$\dfrac{99}{100} \times \dfrac{1}{99} = \dfrac{1}{100}$、
3回目に当たる確率は$\dfrac{99}{100} \times \dfrac{98}{99} \times \dfrac{1}{98} = \dfrac{1}{100}$、
4回目に当たる確率は$\dfrac{99}{100} \times \dfrac{98}{99} \times \dfrac{97}{98} \times \dfrac{1}{97} = \dfrac{1}{100}$
$\vdots$
99回目に当たる確率も同様に計算して$\dfrac{1}{100}$、
100回目に当たる確率も$\dfrac{1}{100}$。
・5%のガチャガチャ。:https://tanakah17191928.blogspot.com/2020/11/blog-post_67.html
(3)$n$年以内に発生する確率
$n$回以内に当たる確率は、1回目に当たる確率+2回目に当たる確率+3回目に当たる確率+$\cdots$+$n - 1$回目に当たる確率+$n$回目に当たる確率である。よって、$\dfrac{n}{100}$
たとえば、80年以内に発生する確率は$\dfrac{80}{100}$なので、80%である。
3 だんだん当たりやすくなるガチャ
(1)$n$年目に発生する確率
100個の中に1個の当たりが入っているガチャガチャとして考えると、1回目に当たる確率も100回目に当たる確率も$\dfrac{1}{100}$である。実際の大地震は、1年目に発生する確率よりも100年目に発生する確率の方が大きいはずである。
1年目に発生する確率から100年目に発生する確率まで、徐々に大きくなっていくように定義したい。
・1年目に発生する確率を$\dfrac{1}{5050}$、2年目ならば$\dfrac{2}{5050}$、3年目ならば$\dfrac{3}{5050}$、$\cdots$、99年目ならば$\dfrac{99}{5050}$、100年目ならば$\dfrac{100}{5050}$とする。
$n$を自然数とすると、$n$年目に大地震が発生する確率は
$Q(n) = \dfrac{n}{5050}$
たとえば、80年目に発生する確率は
$Q(80) = \dfrac{80}{5050} = \dfrac{8}{505} = 0.01584\cdots$
約1.58%である。
(2)$n$回以内に当たる確率
$n$回以内に当たる確率は、1回目に当たる確率+2回目に当たる確率+3回目に当たる確率+$\cdots$+$n − 1$回目に当たる確率+$n$回目に当たる確率である。$\dfrac{1 + 2 + 3 + \cdots + (n - 1) + n}{5050} = \dfrac{\dfrac{n(1 + n)}{2}}{5050} = \dfrac{n(1 + n)}{10100}$
たとえば、80回以内に当たる確率は
$\dfrac{80 \times 81}{10100} = \dfrac{4 \times 81}{505} = \dfrac{324}{505} = 0.64158\cdots$
約64.16%である。
(3)今年発生する確率
今が1年の場合、今年大地震が発生する確率は$\dfrac{1}{5050}$今が2年の場合、今年発生する確率を$x_2$とおくと
$\dfrac{5049}{5050} \times x_2 = \dfrac{2}{5050}$
$x_2 = \dfrac{2}{5050} \times \dfrac{5050}{5049} = \dfrac{2}{5049}$
今が3年の場合、今年発生する確率を$x_3$とおくと
$\dfrac{5049}{5050} \times \dfrac{5047}{5049} \times x_3 = \dfrac{3}{5050}$
$\dfrac{5047}{5050}x_3 = \dfrac{3}{5050}$
$x_3 = \dfrac{3}{5050} \times \dfrac{5050}{5047} = \dfrac{3}{5047}$
今が4年の場合、今年発生する確率を$x_4$とおくと
$\dfrac{5049}{5050} \times \dfrac{5047}{5049} \times \dfrac{5044}{5047} \times x_4 = \dfrac{4}{5050}$
$\dfrac{5044}{5050}x_4 = \dfrac{4}{5050}$
$x_4 = \dfrac{4}{5050} \times \dfrac{5050}{5044} = \dfrac{4}{5044}$
今が$n$年の場合、今年発生する確率を$x_n$とおくと
$x_n = \dfrac{n}{5050 - \dfrac{(n - 1)n}{2}} = \dfrac{2n}{10100 - (n - 1)n} = \dfrac{2n}{10100 - n^2 + n}$
$= \dfrac{-2n}{n^2 - n - 10100} = \dfrac{-2n}{(n + 100)(n - 101)}$
たとえば、今が80年の場合、今年発生する確率は
$x_{80} = \dfrac{-160}{180 \times (-21)} = \dfrac{8}{9 \times 21} = \dfrac{8}{189} = 0.04232\cdots$
約4.23%である。
4 だんだん当たりやすくなるガチャ(その2)
(1)$n$年目に発生する確率
以下のように定義してみる。・1年目に発生する確率を$\dfrac{1^2}{338350}$、2年目ならば$\dfrac{2^2}{338350}$、3年目ならば$\dfrac{3^2}{338350}$、$\cdots$、99年目ならば$\dfrac{99^2}{338350}$、100年目ならば$\dfrac{100^2}{338350}$とする。
$n$を自然数とすると、$n$年目に大地震が発生する確率は
$R(n) = \dfrac{n^2}{338350}$
たとえば、80年目に発生する確率は
$R(80) = \dfrac{80^2}{338350} = \dfrac{128}{6767} = 0.01891\cdots$
約1.89%である。
(2)$n$回以内に当たる確率
$n$回以内に当たる確率は、1回目に当たる確率+2回目に当たる確率+3回目に当たる確率+$\cdots$+$n − 1$回目に当たる確率+$n$回目に当たる確率である。$\dfrac{1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + (n − 1)^2 + n^2}{338350} = \dfrac{\dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}}{338350} = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{2030100}$
たとえば、80回以内に当たる確率は
$\dfrac{80 \times 81 \times 161}{2030100} = \dfrac{17388}{33835} = 0.51390\cdots$
約51.39%である。
(3)今年発生する確率
今が1年の場合、今年大地震が発生する確率は$\dfrac{1}{338350}$今が2年の場合、今年発生する確率を$x_2$とおくと
$\dfrac{338349}{338350} \times x_2 = \dfrac{4}{338350}$
$x_2 = \dfrac{4}{338350} \times \dfrac{338350}{338349} = \dfrac{4}{338349}$
今が3年の場合、今年発生する確率を$x_3$とおくと
$\dfrac{338349}{338350} \times \dfrac{338345}{338349} \times x_3 = \dfrac{9}{338350}$
$\dfrac{338345}{338350}x_3 = \dfrac{9}{338350}$
$x_3 = \dfrac{9}{338350} \times \dfrac{338350}{338345} = \dfrac{9}{338345}$
今が4年の場合、今年発生する確率を$x_4$とおくと
$\dfrac{338349}{338350} \times \dfrac{338345}{338349} \times \dfrac{338336}{338345} \times x_4 = \dfrac{16}{338350}$
$\dfrac{338336}{338350}x_4 = \dfrac{16}{338350}$
$x_4 = \dfrac{16}{338350} \times \dfrac{338350}{338336} = \dfrac{16}{338336}$
今が$n$年の場合、今年発生する確率を$x_n$とおくと
$x_n = \dfrac{n^2}{338350 - \dfrac{(n - 1)n(2n - 1)}{6}} = \dfrac{6n^2}{2030100 - n(n - 1)(2n - 1)} = \dfrac{6n^2}{2030100 - n(2n^2 - 3n + 1)}$
$= \dfrac{6n^2}{-2n^3 + 3n^2 - n + 2030100} = \dfrac{-6n^2}{2n^3 - 3n^2 + n - 2030100}$
たとえば、今が80年の場合、今年発生する確率は
$x_{80} = \dfrac{-38400}{1024000 - 19200 + 80 - 2030100} = \dfrac{-38400}{-1025220} = \dfrac{640}{17087} = 0.03745\cdots$
約3.75%である。
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