円錐を真横に切って２等分する方法。
１ ニンジンを切る時にふと思う
（１）問題
底面の直径が$a$cm、高さが$b$cmの円錐がある。
これを上から$c$cmのところで真横に切った。
上の円錐の体積を$V_1$、下の円錐台の体積を$V_2$とする。
$V_1 = V_2$となる$c$を求めよ。
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（２）計算
また、$V_1 = V_2$なので
$V_1 = \pi \left( \dfrac{a}{2} \right)^2 \times b \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi b}{6} \cdot \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{\pi a^2 b}{24}$
よって、$\dfrac{\pi a^2 c^3}{12b^2} = \dfrac{\pi a^2 b}{24}$
$\dfrac{c^3}{b^2} = \dfrac{b}{2}$
$c^3 = \dfrac{b^3}{2}$
$c$は実数（$a, b, c > 0$）なので
$c = \sqrt[3]{\dfrac{b^3}{2}} = \dfrac{b}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{b}{1.259\cdots}$
$\fallingdotseq \dfrac{b}{1.26} = \dfrac{100}{126}b = 0.7936\cdots \times b$
２ 三角形
（１）問題
三次元の円錐ではなく、二次元の三角形ではどうなるのだろうか。底辺の長さ$a$cm、高さが$b$cmの三角形がある。
これを上から$c$cmのところで真横に切った。
上の三角形の面積を$S_1$、下の台形の面積を$S_2$とする。
$S_1 = S_2$となる$c$を求めよ。
（２）計算
$S_1 = \left( a \times \dfrac{c}{b} \right) \times c \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{ac^2}{2b}$また、$S_1 = S_2$なので
$S_1 = \dfrac{ab}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{ab}{4}$
よって、$\dfrac{ac^2}{2b} = \dfrac{ab}{4}$
$\dfrac{c^2}{b} = \dfrac{b}{2}$
$c^2 = \dfrac{b^2}{2}$
$a, b, c > 0$なので
$c =\sqrt{\dfrac{b^2}{2}} = \dfrac{b}{\sqrt{2}} = \dfrac{b}{1.414\cdots}$
$\fallingdotseq \dfrac{b}{1.41} = \dfrac{100}{141}b = 0.7092\cdots \times b$
３ 少しだけ一般化してみる
（１）問題
底面の面積が$S\mathrm{cm}^2$、高さが$a$cmの錐がある。これを上から$b$cmのところで真横に切った。
上の錐の体積を$V_1$、下の錐台の体積を$V_2$とする。
$V_1 = V_2$となる$b$を求めよ。
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（２）計算
$V_1 = S \times \dfrac{b^2}{a^2} \times b \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{Sb^3}{3a^2}$また、$V_1 = V_2$なので
$V_1 = \dfrac{Sa}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{Sa}{6}$
よって、$\dfrac{Sb^3}{3a^2} = \dfrac{Sa}{6}$
$\dfrac{b^3}{a^2} = \dfrac{a}{2}$
$b^3 = \dfrac{a^3}{2}$
$b$は実数（$a, b > 0$）なので
$b = \sqrt[3]{\dfrac{a^3}{2}} = \dfrac{a}{\sqrt[3]{2}}$
４ でたらめに一般化してみる
（１）$n$次元
$a, b$を実数（$0 < b \leq a$）、$k, l$を自然数（$l \leq k$）とする。$n$を自然数とすると、$n - 1$次元の$W$について
$\dfrac{Wb^{n - 1}}{a^{n - 1}} \cdot \dfrac{b}{n}= \dfrac{Wa}{n} \cdot \dfrac{l}{k}$
$\dfrac{Wb^n}{a^{n - 1} n} = \dfrac{Wal}{kn}$
$\dfrac{b^n}{a^{n - 1}} = \dfrac{al}{k}$
$b^n = \dfrac{a^n l}{k}$
$b$は実数なので
$b = \sqrt[n]{\dfrac{a^n l}{k}} = a\sqrt[n]{\dfrac{l}{k}}$
（２）無限次元
$b = \displaystyle\lim_{n \to \infty} a\sqrt[n]{\dfrac{l}{k}} = a \cdot 1 = a$たとえば$n = 100, \dfrac{l}{k} = \dfrac{1}{2}$のとき
$b = a\sqrt[100]{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{a}{\sqrt[100]{2}} = \dfrac{a}{1.0069\cdots}$
$\fallingdotseq \dfrac{a}{1.007} = \dfrac{1000}{1007}a = 0.9930\cdots \times a$
（３）追記
検索すれば多分先行研究があるだろうなぁ・・・と思って検索したら本当に見つかった。しかも数学的により厳密に、詳しく解説されている・・・みんなすごいなぁ（´・ω・｀）
・n次元錐体の体積（Qiita）
・https://x.com/keisankionwykip/status/1822912928053608911