５％のガチャ。
１ ５％のガチャ20回
５％のガチャと確率についておもしろい話を聞いて、実際に自分で計算してみたら高校数学の復習をすることになったのでここにメモ。５％のガチャを20回やって当たる確率を計算すると、約64％になることをまず確認する。
当たる確率とは、少なくとも１回は当たる確率とする。
これは高校数学、具体的には数学Aで学習する反復試行の確率（$_n\text{C}_r p^r (1 - p)^{n - r}$）である。
よって、$\sum\limits_{r = 1}^{20} {}_{20}\text{C}_r (0.05)^r (0.95)^{20 - r}$を計算すると約0.64、64%となる。
少なくとも１回当たる事象の余事象は、１回も当たらない（すべて外れる）であるので、それを計算してもよい。
その場合、$0.95^{20} = 0.358...$、約36％なので、少なくとも１回当たる確率はやはり64％となる。
２ 何回目に当たるか
ガチャが当たるまで試行するとどうなるかと考えても計算できる。１回目に当たる確率は$0.05$、
２回目に当たる確率は$0.95 \times 0.05$、
３回目に当たる確率は$0.95^2 \times 0.05$、
４回目に当たる確率は$0.95^3 \times 0.05$、
$\vdots$
19回目に当たる確率は$0.95^{18} \times 0.05$、
20回目に当たる確率は$0.95^{19} \times 0.05$。
これをすべて合計すると約0.64、確かに64％となる。
３ 期待値
$n$回目に当たる確率が$0.95^{n - 1} \times 0.05$なので、これに当たるまでに支払った金額をかければ期待値を計算できそうである。例えば、ガチャ１回で400円とすると、$n$回目に当たった場合、$400 \times n$円かかる。
そして、これに$n$回目に当たる確率をかける。
それらを無限数列と考えて、無限級数を計算して収束するのであれば、当たるまで試行すると大体どれくらいかかるのか、具体的な金額が分かるはずである（数学III）。
$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} 0.95^{n - 1} \cdot 0.05 \cdot 400n$
$= 20\sum\limits_{n = 1}^{\infty} n0.95^{n - 1} = 20 \cdot \dfrac{1}{(1 - 0.95)^2}$
$= 20 \cdot \dfrac{1}{0.05^2} = 20 \cdot \dfrac{1}{\dfrac{1}{20^2}}$
$= 20 \cdot 400 = 8000$
Excelで数百回目まで計算してみたら約8000になるので、計算は間違っていないはずである。
8000円を１回の金額400円で割ると20回、20回試行すると当たる確率が約64％だったので、ほぼ直感通りの計算結果と言えるのかもしれない。
あこぎな商売であることを、数学的に検証してしまったような気がしないでもない。
４ だって５％だもん
ここまで数学IIIレベルの計算まで駆使して検証してみたけれど、この結論って、５％だから当たり前だよね。５％は$0.05 = \dfrac{5}{100} = \dfrac{1}{20}$だから、平均20回くらい試行しないと当たらないっていうだけの話。
400円を20回で8000円。
ぐるっと回って小学校の算数にたどり着いた。
同じような事柄を小学校の算数で考えたり、中学数学、高校数学で考えたり、実はこれは何も不思議なことではない。
特に算数、数学のカリキュラムについては、児童、生徒の発達段階を考慮して、小学１年生から中学３年生まで、同じような内容を少しずつレベルを上げて教えていくように設計されている。
中学数学が分かりやすいだろう。
１年生は一次「方程式」・「関数」（比例式）・「図形」（面積、体積）。
２年生は連立「方程式」・一次「関数」・「図形」（証明）。
３年生は二次「方程式」・二次「関数」・「図形」（三平方の定理）。
最後に、この話に落ち着くことになるとは夢にも思わなかった。
算数も数学もMathematicsなのだ。
結局何が言いたいかというと、ギャンブルはほどほどに・・・
（運命の輪。）
５ 補足
YouTubeを見ていたら、まさにこの話題を扱っている動画を見つけた。
YouTubeのAIすげぇな、数ある数学関連動画の中から、ピンポイントでこれをお薦めしてきやがった。
・ガチャ確率1% 100回以内に当たる確率 数学的に考えるギャンブラーの誤謬（YouTube）
僕は５％のガチャが20回以内に当たる確率をExcelで計算して約64％と書いたけれど、この方は「$\dfrac{1}{n}$の確率のガチャが$n$回以内に当たる確率」として一般化し、極限を活用してネイピア数$e$が関係していることを導き出している。
確率が超低くてその分試行回数が超多くなると、$1 - \dfrac{1}{e} \fallingdotseq 63$%という値に収束するらしい。
僕、この話題知らなかったので純粋に感動した、すごくおもしろい。
普通の人は誰も気付いていないけれど、いろんなところで暗躍している・・・黒の組織みたいだなぁ、$e$！
ショッカーのザコ敵も「イーッ！」って言うしね。
・ガチャ確率1% 100回以内に当たる確率 数学的に考えるギャンブラーの誤謬（YouTube）
僕は５％のガチャが20回以内に当たる確率をExcelで計算して約64％と書いたけれど、この方は「$\dfrac{1}{n}$の確率のガチャが$n$回以内に当たる確率」として一般化し、極限を活用してネイピア数$e$が関係していることを導き出している。
確率が超低くてその分試行回数が超多くなると、$1 - \dfrac{1}{e} \fallingdotseq 63$%という値に収束するらしい。
僕、この話題知らなかったので純粋に感動した、すごくおもしろい。
普通の人は誰も気付いていないけれど、いろんなところで暗躍している・・・黒の組織みたいだなぁ、$e$！
ショッカーのザコ敵も「イーッ！」って言うしね。
