1 ニンジンを切る時にふと思う (1)問題 ニンジンをどこで切ったら2等分できるか疑問に思ったので、図形の問題として考察してみる。 底面の直径が$a$cm、高さが$b$cmの円錐がある。 これを上から$c$cmのところで真横に切った。 上の円錐の体積を$V_1$、下の円錐台の体積を$V_2$とする。 $V_1 = V_2$となる$c$を求めよ。 (2)計算 $V_1 = \pi \left\{ \left( a \times \dfrac{c}{b} \right) \times \dfrac{1}{2} \right\}^2 \times c \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{\pi c}{3} \cdot \left( \dfrac{ac}{2b} \right)^2 = \dfrac{\pi c}{3} \cdot \dfrac{a^2 c^2}{4b^2} = \dfrac{\pi a^2 c^3}{12b^2}$ また、$V_1 = V_2$なので $V_1 = \pi \left( \dfrac{a}{2} \right)^2 \times b \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi b}{6} \cdot \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{\pi a^2 b}{24}$ よって、$\dfrac{\pi a^2 c^3}{12b^2} = \dfrac{\pi a^2 b}{24}$ $\dfrac{c^3}{b^2} = \dfrac{b}{2}$ $c^3 = \dfrac{b^3}{2}$ $c$は実数($a, b, c > 0$)なので $c = \sqrt[3]{\dfrac{b^3}{2}} = \dfrac{b}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{b}{1.259\cdots}$ $\fallingdotseq \dfrac{b}{1.26} = \dfrac{100}{126}b = 0.7936\cdots \times b$ 2 三角形 (1)問題 三次元の円錐ではなく、二次元の三角形ではどうなるのだろうか。 底辺の長さ$a$cm、高さが$b$cmの三角形がある。 これを上から$c$cmのところで真横に切った