$\dfrac{1}{N}$の確率のガチャが$N$回以内に当たる確率。
1 5%のガチャガチャ
・5%のガチャ。:https://tanakah17191928.blogspot.com/2020/06/blog-post_20.html・5%のガチャガチャ。:https://tanakah17191928.blogspot.com/2020/11/blog-post_67.html
5%のガチャガチャの記事が中途半端になっていたので、改めて考察し結論をまとめておく。
2 $K$個中当たりが$A$個のガチャガチャ
$n$回目に当たる確率$a_n = {}_{K - n}\text{P}_{A - 1} \cdot \dfrac{A}{{}_{K}\text{P}_A}$めちゃくちゃ大きいガチャガチャマシンを考えて、$K$の値を限りなく大きくすると、
$a_n = K^{A - 1} \cdot \dfrac{A}{K^A} = K^{A - 1 - A} \cdot A = \dfrac{A}{K}$
要するに、$\dfrac{A}{K}$の確率のガチャと考えることができる。
(From いらすとや)
$\dfrac{A}{K}$の確率のガチャが$\dfrac{K}{A}$回以内に当たる確率は、$\dfrac{1}{\dfrac{K}{A}}$の確率のガチャが$\dfrac{K}{A}$回以内に当たる確率であり、$\dfrac{K}{A} = N$とおくと$\dfrac{1}{N}$の確率のガチャが$N$回以内に当たる確率である。
3 $\dfrac{1}{N}$の確率のガチャが$N$回以内に当たる確率
$1 - \displaystyle \lim_{N \to \infty} \left( \dfrac{N - 1}{N} \right)^N$$\dfrac{N - 1}{N}$を$\dfrac{N}{N + 1}$に置き換えて、
$1 - \displaystyle \lim_{N \to \infty} \left( \dfrac{N}{N + 1} \right)^N = 1 - \dfrac{1}{\displaystyle \lim_{N \to \infty} \left( \dfrac{N + 1}{N} \right)^N} = 1 - \dfrac{1}{\displaystyle \lim_{N \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{N} \right)^N} = 1 - \dfrac{1}{\displaystyle \lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}}} = 1 - \dfrac{1}{e}$
$e \fallingdotseq 2.718$として計算すると、
$1 - \dfrac{1}{e} = \dfrac{e - 1}{e} = \dfrac{2.718 - 1}{2.718} = \dfrac{1.718}{2.718} = 0.632\cdots \fallingdotseq 0.63$