1 水面の高さからその容積を求める(積分) 下図のバケツに高さ$h$cmまで水を入れると何リットルになるか。 バケツ底面の直径は$a$cm。 上面の直径は$b$cm。 バケツ自体の高さは$c$cm。 バケツに張った水の高さを$h$cmとおくと、その水面の面積は $\pi \cdot \left\{ \dfrac{a + (b - a) \times \dfrac{h}{c}}{2} \right\}^2 = \pi \left\{ \dfrac{a + \dfrac{(b - a)h}{c}}{2} \right\}^2 = \pi \left\{ \dfrac{a}{2} + \dfrac{(b - a)h}{2c} \right\}^2$ $= \pi \left\{ \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a(b - a)}{2c}h + \dfrac{(b - a)^2}{4c^2}h^2 \right\} = \pi \left\{ \dfrac{(b - a)^2}{4c^2}h^2 + \dfrac{a(b - a)}{2c}h + \dfrac{a^2}{4} \right\}$ $= \dfrac{\pi (b - a)^2}{4c^2}h^2 + \dfrac{\pi a(b - a)}{2c}h + \dfrac{\pi a^2}{4}$ 積分して容積を求めると $V = \displaystyle\int^{h}_{0} \left\{ \dfrac{\pi (b - a)^2}{4c^2}h^2 + \dfrac{\pi a(b - a)}{2c}h + \dfrac{\pi a^2}{4} \right\} dh$ $= \left[ \dfrac{\pi (b - a)^2}{12c^2}h^3 + \dfrac{\pi a(b - a)}{4c}h^2 + \dfrac{\pi a^2}{4}h \right]_0^h$ $= \dfrac{\pi (b - a)^2}{12c^2}h^3 + \dfrac{\pi a(b - a)}{4c}h^2 + \dfrac{\pi a^2}{4}h \; (\mathrm{cm}^3)$ 1リットルは$1000\mathrm{cm}^3$なので、これを1000で割