【中2数学】(2020年12月)学習進度。
第1週(㉒ 証明)
・問題
y = x上の点\mathrm{A}からx軸、y軸へひいた垂線と軸との交点をそれぞれ\mathrm{B}, \mathrm{C}とする。\triangle \mathrm{OAB} \equiv \triangle \mathrm{OAC}であることを証明しなさい。
・解答例
点\mathrm{A}はy = x上にあるので、\angle \mathrm{AOB} = 45^\circ\angle \mathrm{AOC} = 90^\circ - \angle \mathrm{AOB}
= 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ
よって、\angle \mathrm{AOB} = \angle \mathrm{AOC}(①)
\angle \mathrm{OAB} = 180^\circ - 90^\circ - \angle \mathrm{AOB}
= 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ
\angle \mathrm{OAC} = 180^\circ - 90^\circ - \angle \mathrm{AOC}
= 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ
よって、\angle \mathrm{OAB} = \angle \mathrm{OAC}(②)
\mathrm{OA}は共通(③)
①、②、③より、1組の辺とその両端の角が等しいから、
\triangle \mathrm{OAB} \equiv \triangle \mathrm{OAC}
第2週(㉓ 二等辺三角形)
・問題
点\mathrm{A}, \mathrm{B}をそれぞれ中心として、等しい半径の円をかき、その2円の交点を通る直線をひいた。この直線が、線分\mathrm{AB}の垂直二等分線であることを証明しなさい。・解答例
仮定より、\mathrm{AP} = \mathrm{BP}で\triangle \mathrm{ABP}は二等辺三角形であるから、\angle \mathrm{BAP} = \angle \mathrm{ABP}(①)
また、\mathrm{AP} = \mathrm{BP}, \mathrm{AQ} = \mathrm{BQ}, \mathrm{PQ}は共通であり、3組の辺が、それぞれ等しいから、
\triangle \mathrm{APQ} \equiv \triangle \mathrm{BPQ}
よって、\angle \mathrm{APQ} = \angle \mathrm{BPQ}(②)
①より\angle \mathrm{OAP} = \angle \mathrm{OBP}、②より\angle \mathrm{APO} = \angle \mathrm{BPO}、仮定より\mathrm{AP} = \mathrm{BP}であり、1組の辺とその両端の角が、それぞれ等しいから、
\triangle \mathrm{AOP} \equiv \triangle \mathrm{BOP}
よって、\mathrm{AO} = \mathrm{BO}
\angle \mathrm{AOP} = \angle \mathrm{BOP}で、その角度は\dfrac{180^\circ}{2} = 90^\circ
ゆえに、直線\mathrm{PQ}は、線分\mathrm{AB}の垂直二等分線である。
\triangle \mathrm{AOP} \equiv \triangle \mathrm{BOP}
よって、\mathrm{AO} = \mathrm{BO}
\angle \mathrm{AOP} = \angle \mathrm{BOP}で、その角度は\dfrac{180^\circ}{2} = 90^\circ
ゆえに、直線\mathrm{PQ}は、線分\mathrm{AB}の垂直二等分線である。
第3週(㉒ 証明)
・問題
点\mathrm{O}を中心とする円をかき、半直線\mathrm{OX}, \mathrm{OY}との交点を、それぞれ\mathrm{P}, \mathrm{Q}とする。2点\mathrm{P}, \mathrm{Q}を、それぞれ中心として、等しい半径の円をかく。その交点の1つを\mathrm{R}とし、半直線\mathrm{OZ}をひく。半直線\mathrm{OZ}が、\angle \mathrm{XOY}の二等分線であることを証明しなさい。
\mathrm{OR}は共通であり、3組の辺が、それぞれ等しいから、
\triangle \mathrm{OPR} \equiv \triangle \mathrm{OQR}
・解答例
仮定より、\mathrm{OP} = \mathrm{OQ}, \mathrm{PR} = \mathrm{QR}\mathrm{OR}は共通であり、3組の辺が、それぞれ等しいから、
\triangle \mathrm{OPR} \equiv \triangle \mathrm{OQR}
よって、\angle \mathrm{POR} = \angle \mathrm{QOR}
ゆえに、\angle \mathrm{XOZ} = \angle \mathrm{YOZ}であり、半直線\mathrm{OZ}は、\angle \mathrm{XOY}の二等分線である。
ゆえに、\angle \mathrm{XOZ} = \angle \mathrm{YOZ}であり、半直線\mathrm{OZ}は、\angle \mathrm{XOY}の二等分線である。
第4週(㉓ 二等辺三角形)
・問題
二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に2等分する。これを証明しなさい。・解答例
二等辺三角形\mathrm{ABC}の\mathrm{AB} = \mathrm{AC}, \angle \mathrm{ABC} = \angle \mathrm{ACB}とする。\angle \mathrm{BAC}の二等分線と\mathrm{BC}との交点を\mathrm{H}とおくと、
\angle \mathrm{BAH} = \angle \mathrm{CAH}, \mathrm{AB} = \mathrm{AC}, \mathrm{AH}は共通であり、
2組の辺とその間の角が、それぞれ等しいから、
\triangle \mathrm{ABH} \equiv \triangle \mathrm{ACH}
よって、\angle \mathrm{AHB} = \angle \mathrm{AHC}であり、その角度は\dfrac{180^\circ}{2} = 90^\circ、
\mathrm{BH} = \mathrm{CH}、ゆえに、二等辺三角形\mathrm{ABC}の頂角の二等分線\mathrm{AH}は、底辺\mathrm{BC}を垂直に2等分する。