H28年度第２回高認数学問５解説

問５

（１）【文章題（三角比）】

$\sin \angle \mathrm{BAC} = \dfrac{2100}{10000}$

$= \dfrac{21}{100} = 0.21$

$0.2079 < 0.21 < 0.2250$

$\sin 12^\circ < \sin \angle \mathrm{BAC} < \sin 13^\circ$

よって、$\angle \mathrm{BAC}$は$12^\circ$以上$13^\circ$未満

（２）【三角比】

$\tan 165^\circ = \tan (180^\circ - 15^\circ)$

$= -\tan 15^\circ = -0.2679$

・原案：三角比、文章題（オンライン補習塾 from 東三河）

（３）【三平方の定理】

　$\sin A = \dfrac{2}{3}$なので、斜辺と他の１辺の比が$3 : 2$の直角三角形を考える。

残りの１辺の長さを$x$とおくと、三平方の定理より

$3^2 = 2^2 + x^2$

$9 = 4 + x^2$

$9 - 4 = x^2$

$5 = x^2$

$x > 0$なので、$x = \sqrt{5}$

よって、$\cos A = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$

（４）【正六角形】

　点$\mathrm{B}$から線分$\mathrm{AC}$に垂線を引き、その垂線と線分$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{H}$とする。

$\triangle \mathrm{ABH} \equiv \triangle \mathrm{CBH}$

$\angle \mathrm{ABH} = \angle \mathrm{CBH} = 60^\circ$

$\mathrm{AH} = 2 \times \sin 60^\circ$

$= 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

よって、$\mathrm{AC} = 2 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

（５）【三角比、（相似）】

　点$\mathrm{B}$から線分$\mathrm{AC}$に垂線を引き、その垂線と線分$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{H}$とする。

$\mathrm{AB} \times \sin 30^\circ = 3 \times \sin 45^\circ$

$\mathrm{AB} \times \dfrac{1}{2} = 3 \times \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\dfrac{\mathrm{AB}}{2} = \dfrac{3}{\sqrt{2}}$

両辺に2をかけると

$\mathrm{AB} = \dfrac{3}{\sqrt{2}} \times 2$

$= \dfrac{6}{\sqrt{2}} = \dfrac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$

$= \dfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

・原案：三平方の定理、正六角形、相似、（三角比）（オンライン補習塾 from 東三河）
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