H29年度第２回高認数学問５解説
問５
（１）【文章題（三角比）】
$\mathrm{AC} = 50 \times \cos 52^\circ$$= 50 \times 0.6157 = 30.785$
$\mathrm{BC} = \mathrm{AB} - \mathrm{AC}$
$= 50 - 30.785 = 19.215$
（２）【三角比】
$\sin 128^\circ = \sin (180^\circ - 52^\circ)$$= \sin 52^\circ = 0.7880$
・原案：三角比、文章題（オンライン補習塾 from 東三河）
（３）【三角比】
$\tan A = \dfrac{\sin A}{\cos A}$$= \dfrac{\dfrac{12}{13}}{\dfrac{5}{13}} = \dfrac{12}{13} \cdot \dfrac{13}{5}$
$= \dfrac{12}{5}$
（４）【三平方の定理、（余弦定理）】
点$\mathrm{C}$から線分$\mathrm{AB}$に垂線を引き、その垂線と線分$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする。$\mathrm{AH} = 7 \times \cos A$
$= 7 \times \dfrac{5}{7} = 5$
三平方の定理より$\mathrm{CH}^2 = \mathrm{AC}^2 - \mathrm{AH}^2$
$= 7^2 - 5^2 = 49 - 25$
$= 24$
$\mathrm{CH} = \sqrt{24}$
$= 2\sqrt{6}$
$\mathrm{BH} = \mathrm{AB} - \mathrm{AH}$
$= 6 - 5 = 1$
三平方の定理より$\mathrm{BC}^2 = \mathrm{CH}^2 + \mathrm{BH}^2$
$= (2\sqrt{6})^2 + 1^2 = 24 + 1$
$= 25$
よって、$\mathrm{BC} = 5$
ちなみに、余弦定理で解くと
$\mathrm{BC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 - 2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \cos A$
$= 6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \dfrac{5}{7}$
$= 36 + 49 - 60 = 25$
よって、$\mathrm{BC} = 5$
（５）【三角形の面積】
正十二角形の面積を$S$とすると$\dfrac{S}{12} = \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin 30^\circ$
$= \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1$
よって、$S = 12$