H29年度第２回高認数学問５解説
問５
（１）【文章題（三角比）】
\mathrm{AC} = 50 \times \cos 52^\circ= 50 \times 0.6157 = 30.785
\mathrm{BC} = \mathrm{AB} - \mathrm{AC}
= 50 - 30.785 = 19.215
（２）【三角比】
\sin 128^\circ = \sin (180^\circ - 52^\circ)= \sin 52^\circ = 0.7880
・原案：三角比、文章題（オンライン補習塾 from 東三河）
（３）【三角比】
\tan A = \dfrac{\sin A}{\cos A}= \dfrac{\dfrac{12}{13}}{\dfrac{5}{13}} = \dfrac{12}{13} \cdot \dfrac{13}{5}
= \dfrac{12}{5}
（４）【三平方の定理、（余弦定理）】
点\mathrm{C}から線分\mathrm{AB}に垂線を引き、その垂線と線分\mathrm{AB}との交点を\mathrm{H}とする。\mathrm{AH} = 7 \times \cos A
= 7 \times \dfrac{5}{7} = 5
三平方の定理より\mathrm{CH}^2 = \mathrm{AC}^2 - \mathrm{AH}^2
= 7^2 - 5^2 = 49 - 25
= 24
\mathrm{CH} = \sqrt{24}
= 2\sqrt{6}
\mathrm{BH} = \mathrm{AB} - \mathrm{AH}
= 6 - 5 = 1
三平方の定理より\mathrm{BC}^2 = \mathrm{CH}^2 + \mathrm{BH}^2
= (2\sqrt{6})^2 + 1^2 = 24 + 1
= 25
よって、\mathrm{BC} = 5
ちなみに、余弦定理で解くと
\mathrm{BC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 - 2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \cos A
= 6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \dfrac{5}{7}
= 36 + 49 - 60 = 25
よって、\mathrm{BC} = 5
（５）【三角形の面積】
正十二角形の面積をSとすると\dfrac{S}{12} = \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin 30^\circ
= \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1
よって、S = 12