R元年度第１回高認数学問５解説
問５
（１）【文章題（三角比）】
$\mathrm{BD} = 100 \times \sin 14^\circ$$= 100 \times 0.2419 = 24.19$
$\mathrm{CD} = \mathrm{BD} \times 2$
$= 48.38$
（２）【三角比】
$\cos 166^\circ = \cos (180^\circ - 14^\circ)$$= -\cos 14^\circ = -0.9703$
（３）【三角比】
$\tan A = \dfrac{\sin A}{\cos A}$$\sin A = \tan A \times \cos A$
$= \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{\sqrt{13}} = \dfrac{2}{\sqrt{13}}$
（４）【余弦定理、（三平方の定理）】
$\mathrm{BC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 - 2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \cos 60^\circ$$= 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2}$
$= 25 + 64 - 40 = 49$
よって、$\mathrm{BC} = 7$
ちなみに、三平方の定理で解くこともできる。
点$\mathrm{C}$から線分$\mathrm{AB}$に垂線を引き、その垂線と線分$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする。
$\mathrm{CH} = 8 \times \sin 60^\circ$
$= 8 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$
$\mathrm{AH} = 8 \times \cos 60^\circ$
$= 8 \times \dfrac{1}{2} = 4$
$\mathrm{BH} = \mathrm{AB} - \mathrm{AH}$
$= 5 - 4 = 1$
$\mathrm{BC}^2 = \mathrm{CH}^2 + \mathrm{BH}^2$
$= (4\sqrt{3})^2 + 1^2$
$= 48 + 1 = 49$
よって、$\mathrm{BC} = 7$
（５）【正弦定理】
$\dfrac{\mathrm{AC}}{\sin B} = \dfrac{\mathrm{AB}}{\sin C}$$\dfrac{\mathrm{AC}}{\dfrac{2}{5}} = \dfrac{9}{\dfrac{3}{5}}$
$\dfrac{5}{2}\mathrm{AC} = \dfrac{9 \times 5}{3}$
$\dfrac{5}{2}\mathrm{AC} = 15$
両辺に$\dfrac{2}{5}$をかけると
$\mathrm{AC} = 15 \times \dfrac{2}{5}$
$= 6$
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