アルキメデスの原理と積分。

１　アルキメデスの原理

　センター試験物理基礎過去問を解いていたら、浮力やアルキメデスの原理を復習することになった。
アルキメデスの原理とは、流体中の物体は、その物体が押しのけている流体の重量と同じ大きさの浮力を受けるというものである。
たとえば、水中の物体は、深く沈めば沈むほど大きな水圧を受ける。
物体上面と下面で受ける水圧の差が浮力となる。

大気圧や水面から物体上面までの深さによる水圧は相殺されるので、浮力は$\rho hg \times S$（$\rho$：水の密度、$h$：物体の高さ、$g$：重力加速度、$S$：物体の底面積）となる。
すなわち、$\rho (h \times S)g= \rho Vg$（$V$：物体の体積）となり、これはまさにアルキメデスの原理である。

２　直方体以外、たとえば円錐について考える

　直方体だと分かりやすいけれど、物体が直方体でなかったらどうだろうか。
たとえば、円錐の形をした物体がうける水圧はどうなるのだろうか。

直方体と違い、円錐だと底面から側面までの高さが一定ではない。

そこで、積分を使うと三角形の面積となり、これを回転させればよさそうである。

結局、円錐の体積を積分で計算しただけの話になってしまった。
直方体でも、円錐でも、三角錐でも、半球でも球でも、要するに、その物体の体積を計算すればよいというアルキメデスの原理の話に回帰した。

３　複雑な形状の物体

　どんな複雑な形状の物体でも体積が分かれば浮力が分かる。
円錐の体積を積分で考えることができるように、複雑な形状の物体の体積を積分で計算できないだろうか。

たとえば、こんな複雑な形状の物体はどうだろうか。

各$(x, y)$座標における$h$を微細に測定できれば、積分で計算できるかもしれない。

ここから先は、どうやら高校数学の範囲を越えるみたいだ。
・面積分と体積分（EMANの物理学）

４　ちなみに、線積分とは

　線積分についてもリンクをメモ。
・線積分（EMANの物理学）
・ベクトルの線積分と周回積分（物理のかぎしっぽ）

電気の勉強をしたことがあると、取っ付きやすいかもしれない。
・【アンペアの周回積分の法則とは】図を用いてわかりやすく説明！（Electrical Information）
・【ビオ・サバールの法則とは】『直流電流』や『円電流』の磁界の強さの導出など！（Electrical Information）