R２年度第１回高認数学問５解説

問５

（１）【文章題（三角比）】

$\tan \angle \mathrm{BAC} = \dfrac{6}{1.8}$

$= \dfrac{60}{18} = \dfrac{10}{3} = 3.3\cdots$

$3.2709 < 3.3\cdots < 3.4874$

$\tan 73^\circ < \tan \angle \mathrm{BAC} < \tan 74^\circ$

よって、$\angle \mathrm{BAC}$は$73^\circ$以上$74^\circ$未満

（２）【三角比】

$\cos 108^\circ = -\cos (180^\circ - 108^\circ)$

$= -\cos 72^\circ = -0.3090$

・原案：三角比、文章題（オンライン補習塾 from 東三河）

（３）【三角比】

$\tan 120^\circ = -\tan (180^\circ - 120^\circ)$

$= -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}$

（４）【余弦定理】

$\mathrm{BC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 - 2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \cos A$

$= 7^2 + 4^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4 \cdot \left( -\dfrac{2}{7} \right)$

$= 49 + 16 - (-16) = 65 + 16 = 81$

よって、$\mathrm{BC} = 9$

（５）【三角形の面積】

$\dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \sin \angle \mathrm{A}$

$= \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin 30^\circ$

$= 15 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{15}{2}$

　ちなみに、点$\mathrm{B}$から線分$\mathrm{AC}$に垂線を引き、その垂線と線分$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{H}$とすると

$\mathrm{BH} = \mathrm{AB} \times \sin 30^\circ$

$= 5 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$

よって、三角形$\mathrm{ABC}$の面積は

$\dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{AC} \cdot \mathrm{BH}$

$= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{2}$

・原案：三角比、余弦定理、三角形の面積（オンライン補習塾 from 東三河）
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