R３年度第１回高認数学問１解説

問１

（１）【整式の計算】

$3A + B = 3(2x^2 + 4x - 1) + (-x^2 - 5x + 2)$

$= 6x^2 + 12x - 3 -x^2 - 5x + 2$

$= 5x^2 + 7x - 1$

（２）【分母の有理化と乗法公式】

$x = \dfrac{1}{\sqrt{6} + 2} = \dfrac{1 \times (\sqrt{6} - 2)}{(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2)}$

$= \dfrac{\sqrt{6} - 2}{(\sqrt{6})^2 - 2^2} = \dfrac{\sqrt{6} - 2}{6 - 4}$

$= \dfrac{\sqrt{6} - 2}{2}$

$y = \dfrac{1}{\sqrt{6} - 2} = \dfrac{1 \times \sqrt{6} + 2}{(\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2)}$

$= \dfrac{\sqrt{6} + 2}{(\sqrt{6})^2 - 2^2} = \dfrac{\sqrt{6} + 2}{6 - 4}$

$= \dfrac{\sqrt{6} + 2}{2}$

$x + y = \dfrac{\sqrt{6} - 2}{2} + \dfrac{\sqrt{6} + 2}{2}$

$= \dfrac{(\sqrt{6} - 2) + (\sqrt{6} + 2)}{2} = \dfrac{\sqrt{6} - 2 + \sqrt{6} + 2}{2}$

$= \dfrac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$

（３）【命題】

　対偶とは、命題の逆の裏である。

命題：「$n^2$が3の倍数ならば、$n$は3の倍数である」

逆：「$n$が3の倍数ならば、$n^2$は3の倍数である」

逆の裏（対偶）：「$n$が3の倍数でないならば、$n^2$は3の倍数でない」

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