R3年度第1回高認数学問5解説
問5
(1)【文章題(三角比)】
\tan \angle \mathrm{CAB} = \dfrac{0.4}{8.0}
= \dfrac{4}{80} = \dfrac{1}{20} = 0.05
0.0349 < 0.05 < 0.0524
\tan 2^\circ < \tan \angle \mathrm{CAB} < \tan 3^\circ
よって、\angle \mathrm{CAB}は2^\circ以上3^\circ未満
(2)【三角比(加法定理)】
\sin 88^\circ = \cos (90^\circ - 88^\circ)
= \cos 2^\circ = 0.9994
ちなみに、正弦の加法定理で解くと
\sin 88^\circ = \sin (90^\circ - 2^\circ)
= \sin 90^\circ \cos 2^\circ - \cos 90^\circ \sin 2^\circ
= 1 \cdot \cos 2^\circ - 0 \cdot \sin 2^\circ
= \cos 2^\circ = 0.9994
(3)【三角比】
\sin^2 A + \cos^2 A = 1
\left( \dfrac{1}{6} \right)^2 + \cos^2 A = 1
\dfrac{1}{36} + \cos^2 A = 1
\cos^2 A = 1 - \dfrac{1}{36}
= \dfrac{36 - 1}{36} = \dfrac{35}{36}
Aは鈍角なので\cos A < 0
よって、\cos A = -\sqrt{\dfrac{35}{36}} = -\dfrac{\sqrt{35}}{6}
\left( \dfrac{1}{6} \right)^2 + \cos^2 A = 1
\dfrac{1}{36} + \cos^2 A = 1
\cos^2 A = 1 - \dfrac{1}{36}
= \dfrac{36 - 1}{36} = \dfrac{35}{36}
Aは鈍角なので\cos A < 0
よって、\cos A = -\sqrt{\dfrac{35}{36}} = -\dfrac{\sqrt{35}}{6}
(4)【余弦定理】
\mathrm{BC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 - 2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \cos A
= 5^2 + 2^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot \dfrac{3}{4}
= 25 + 4 - 15 = 10 + 4 = 14
よって、\mathrm{BC} = \sqrt{14}
(5)【三角形の面積】
半径2cmの円に内接する正五角形の面積は、2辺の長さが2cmでその間の角が72^{\circ}の三角形の面積\times 5である。\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 72^{\circ} \times 5
= 2 \times \sin 72^{\circ} \times 5 = 10 \times 0.9511
= 9.511 \fallingdotseq 9.5
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