R３年度第１回高認数学問５解説

問５

（１）【文章題（三角比）】

$\tan \angle \mathrm{CAB} = \dfrac{0.4}{8.0}$

$= \dfrac{4}{80} = \dfrac{1}{20} = 0.05$

$0.0349 < 0.05 < 0.0524$

$\tan 2^\circ < \tan \angle \mathrm{CAB} < \tan 3^\circ$

よって、$\angle \mathrm{CAB}$は$2^\circ$以上$3^\circ$未満

（２）【三角比（加法定理）】

$\sin 88^\circ = \cos (90^\circ - 88^\circ)$

$= \cos 2^\circ = 0.9994$

　ちなみに、正弦の加法定理で解くと

$\sin 88^\circ = \sin (90^\circ - 2^\circ)$

$= \sin 90^\circ \cos 2^\circ - \cos 90^\circ \sin 2^\circ$

$= 1 \cdot \cos 2^\circ - 0 \cdot  \sin 2^\circ$

$= \cos 2^\circ = 0.9994$

（３）【三角比】

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$

$\left( \dfrac{1}{6} \right)^2 + \cos^2 A = 1$

$\dfrac{1}{36} + \cos^2 A = 1$

$\cos^2 A = 1 - \dfrac{1}{36}$

$= \dfrac{36 - 1}{36} = \dfrac{35}{36}$

　$A$は鈍角なので$\cos A < 0$

よって、$\cos A = -\sqrt{\dfrac{35}{36}} = -\dfrac{\sqrt{35}}{6}$

（４）【余弦定理】

$\mathrm{BC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 - 2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \cos A$

$= 5^2 + 2^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot \dfrac{3}{4}$

$= 25 + 4 - 15 = 10 + 4 = 14$

よって、$\mathrm{BC} = \sqrt{14}$

（５）【三角形の面積】

　半径２cmの円に内接する正五角形の面積は、２辺の長さが２cmでその間の角が$72^{\circ}$の三角形の面積$\times 5$である。

$\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 72^{\circ} \times 5$

$= 2 \times \sin 72^{\circ} \times 5 = 10 \times 0.9511$

$= 9.511 \fallingdotseq 9.5$

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