R４年度第２回高認数学問４解説

問４

（１）【二次関数の最大値・最小値】

　$y = -2x^2 + 9$のグラフは上に凸で、頂点の座標$(0, 9)$、軸は$y$軸である。

$x$の変域が$−2 \leq x \leq 2$なので

　$x = 2$のとき

$y = -2 \cdot 2^2 + 9$

$= −2 \cdot 4 + 9= -8 + 9 = 1$

　$x = -2$のとき

$y = -2 \cdot (-2)^2 + 9$

$= −2 \cdot 4 + 9= -8 + 9 = 1$

$x = 2, -2$のとき、最小値$1$

$x = 0$のとき、最大値$9$

（２）【二次関数のグラフと$x$軸との共有点（二次方程式）】

　$2x^2 − x - 6 = 0$を二次方程式の解の公式で解くと

$x = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2}$

$= \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} = \dfrac{1 \pm \sqrt{49}}{4}$

$= \dfrac{1 \pm 7}{4} = \dfrac{1 + 7}{4}, \dfrac{1 - 7}{4}$

$= \dfrac{8}{4}, \dfrac{-6}{4} = 2, -\dfrac{3}{2}$

よって、$x$軸との共有点の座標は$(2, 0), \left( -\dfrac{3}{2}, 0 \right)$である。

　ちなみに、$2x^2 − x - 6 = 0$を因数分解で解くと

$(2x + 3)(x - 2) = 0$

よって、$x = -\dfrac{3}{2}, 2$

（３）【二次不等式】

　$y = x^2 + 3x$のグラフは

よって、$x^2 + 3x < 0$の解は

$-3 < x < 0$

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