R４年度第２回高認数学問５解説
問５
（１）【文章題（三角比）】
$\mathrm{AC} = \tan \angle\mathrm{ABC} \times 46 = \tan 28^{\circ} \times 46$$= 0.5317 \times 46 = 24.4582$
よって、ACはおよそ24.5mである。
（２）【$180^{\circ} − \theta$の三角比】
$\sin 152^{\circ} = \sin(180^{\circ} − 28^{\circ})$$= \sin 28^{\circ} = 0.4695$
ちなみに、正弦の加法定理で解くと
$\sin 152^{\circ} = \sin(180^{\circ} − 28^{\circ})$
$= \sin 180^{\circ} \cos 28^{\circ} - \cos 180^{\circ} \sin 28^{\circ}$
$= 0 \cdot \cos 28^{\circ} - (-1) \cdot \sin 28^{\circ}$
$= \sin 28^{\circ} = 0.4695$
（３）【三角比の相互関係】
$\tan A = \dfrac{\sin A}{\cos A} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{5}}{3}}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$（４）【余弦定理】
$\mathrm{BC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 − 2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \cos \angle\mathrm{BAC}$$= 7^2 + 3^2 − 2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot \cos A = 49 + 9 − 42 \cdot \left( -\dfrac{2}{7} \right)$
$= 58 − (-12) = 58 + 12 = 70$
$\mathrm{BC} > 0$なので$\mathrm{BC} = \sqrt{70}$
よって、BCの長さは$\sqrt{70}$cmである。
（５）【三角形の面積】
ひし形ABCDのの面積は$\triangle\mathrm{ABD} \times 2$である。$\triangle\mathrm{ABD} = \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AD} \cdot \sin A$
$= \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 60^{\circ} = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
$\triangle\mathrm{ABD} \times 2 = \sqrt{3} \times 2 = 2\sqrt{3}$
よって、ひし形ABCDのの面積は$2\sqrt{3} \mathrm{cm}^2$である。
ちなみに、三角形ABDは正三角形なので
$\triangle\mathrm{ABD} = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$
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