R４年度第１回高認数学問５解説
問５
（１）【文章題（三角比）】
$\mathrm{AC} = \sin \angle\mathrm{ABC} \times 550 = \sin 37^{\circ} \times 550$$= 0.6018 \times 550 = 330.99$
よって、ACはおよそ331mである。
（２）【$180^{\circ} - \theta$の三角比】
$\cos 143^{\circ} = \cos (180^{\circ} − 37^{\circ})$$= -\cos 37^{\circ} = -0.7986$
ちなみに、余弦の加法定理で解くと
$\cos 143^{\circ} = \cos (180^{\circ} − 37^{\circ})$
$= \cos180^{\circ} \cos 37^{\circ} + \sin 180^{\circ} \sin 37^{\circ}$
$= (-1) \cdot \cos 37^{\circ} + 0 \cdot \sin 37^{\circ}$
$= -\cos 37^{\circ} = -0.7986$
（３）【三角比】
$\sin 30^{\circ} + \sin 60^{\circ} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}$（４）【余弦定理】
$\mathrm{BC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 − 2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \cos \angle\mathrm{BAC}$$= 1^2 + 3^2 − 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot \cos 120^{\circ} = 1 + 9 - 6 \cdot \cos (180^{\circ} - 60^{\circ})$
$= 10 - 6 \cdot (-\cos 60^{\circ}) = 10 - 6 \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right)$
$= 10 - \left( -\dfrac{6}{2} \right) = 10 - (-3) = 10 + 3 = 13$
$\mathrm{BC} > 0$なので$\mathrm{BC} = \sqrt{13}$
よって、BCの長さは$\sqrt{13}$cmである。
（５）【正弦定理】
$\dfrac{\mathrm{BC}}{\sin \angle\mathrm{A}} = \dfrac{\mathrm{AC}}{\sin \angle\mathrm{B}}$$\dfrac{10}{\sin 45^{\circ}} = \dfrac{\mathrm{AC}}{\sin 30^{\circ}}$
$\dfrac{10}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = \dfrac{\mathrm{AC}}{\dfrac{1}{2}}$
$10 \times \dfrac{\sqrt{2}}{1} = \mathrm{AC} \times \dfrac{2}{1}$
$10 \times \sqrt{2} = \mathrm{AC} \times 2$
$10\sqrt{2} = 2\mathrm{AC}$
$\dfrac{10\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2\mathrm{AC}}{2}$
$5\sqrt{2} = \mathrm{AC}$
$\mathrm{AC} = 5\sqrt{2}$
よって、ACの長さは$5\sqrt{2}$cmである。
ちなみに、CからABに垂線を下ろして三角比で解くこともできる。垂足をHとすると
$\mathrm{CH} = \sin \mathrm{A} \times \mathrm{AC} = \sin 45^{\circ} \times \mathrm{AC} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \mathrm{AC} = \dfrac{\mathrm{AC}}{\sqrt{2}}$
$\mathrm{AC} = \sqrt{2}\mathrm{CH}$
$\mathrm{CH} = \sin \mathrm{B} \times 10 = \sin 30^{\circ} \times 10 = \dfrac{1}{2} \times 10 = 5$
よって、$\mathrm{AC} = \sqrt{2}\mathrm{CH} = \sqrt{2} \cdot 5 = 5\sqrt{2}$
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