R４年度第１回高認数学問４解説

問４

（１）【二次関数の最大値・最小値】

　$y = \left( x - \dfrac{3}{2} \right)^2 + 2$のグラフは下に凸で、頂点の座標$\left( \dfrac{3}{2}, 2 \right)$、軸は$x = \dfrac{3}{2}$である。

$x$の変域が$-\dfrac{1}{2} \leq x \leq 2$なので

　$x = -\dfrac{1}{2}$のとき

$y = \left( -\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2} \right)^2 + 2 = \left( -\dfrac{4}{2} \right)^2 + 2$

$= (-2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6$

$x = -\dfrac{1}{2}$のとき、最大値$6$

$x = \dfrac{3}{2}$のとき、最小値$2$

　ちなみに、$x = 2$のとき

$y = \left( 2 - \dfrac{3}{2} \right)^2 + 2 = \left( \dfrac{4}{2} - \dfrac{3}{2} \right)^2 + 2 = \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 + 2$

$= \dfrac{1}{4} + 2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{8}{4} = \dfrac{9}{4} = 2.25$

（２）【二次関数のグラフと$x$軸との共有点（二次方程式）】

　$x^2 − 5x + 2 = 0$を二次方程式の解の公式で解くと

$x = \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$

（３）【二次不等式】

$y = (2x - 3)(3x - 2)$のグラフは

よって、$(2x - 3)(3x - 2) > 0$の解は

$x < \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{2} < x$

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