R５年度第１回高認数学問４解説

問４

（１）【二次関数の最大値・最小値】

　$y = (x + 1)^2 - 2$のグラフは下に凸で、頂点の座標は$(-1, -2)$である。

$x = -1$で最小値$-2$をとり、最大値はない。（①）

（２）【二次関数のグラフと$x$軸との共有点（二次方程式）】

　$3x^2 − 7x + 2 = 0$を二次方程式の解の公式で解くと

$x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

$= \dfrac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6} = \dfrac{7 \pm \sqrt{25}}{6} = \dfrac{7 \pm 5}{6}$

$= \dfrac{7 + 5}{6}, \dfrac{7 - 5}{6} = \dfrac{12}{6}, \dfrac{2}{6} = 2, \dfrac{1}{3}$

よって、$y = 3x^2 − 7x + 2$のグラフと$x$軸との共有点の座標は、$\left( \dfrac{1}{3}, 0 \right) , (2, 0)$である。

　ちなみに、$3x^2 − 7x + 2 = 0$を因数分解で解くと

$(3x - 1)(x - 2) = 0$

よって、$x = \dfrac{1}{3}, 2$

（３）【二次不等式】

　$y = (x − 5)(x − 3)$のグラフは

よって、$(x − 5)(x − 3) \geq 0$の解は

$x \leq 3, 5 \leq x$（③）

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