R５年度第１回高認数学問３解説

問３

　$y = a(x - p)^2$（$a, p$は正の定数）のグラフは、$y = ax^2$のグラフを$x$軸方向に$p$だけ平行移動したものである。
$a > 0$なので$y = ax^2$のグラフは下に凸であり、$p > 0$なので$x$軸の正の方向に平行移動するので②である。

　二次関数$y = x^2 + 4kx - k$（$k$は定数）のグラフが点$(0, 3)$を通るので

$3 = 0^2 + 4k \cdot 0 - k$

$3 = -k$

$-3 = k$

$k = -3$

$y = -x^2 + 6x - 8 = (-x^2 + 6x) - 8$

$= -(x^2 - 6x) - 8 = -\{(x - 3)^2 - 9 \} - 8$

$= -(x - 3)^2 + 9 - 8 = -(x - 3)^2 + 1$

よって、頂点の座標は$(3, 1)$である。