R５年度第１回高認数学問５解説

問５

（１）【文章題（三角比）】

$\mathrm{BC} = \sin \angle\mathrm{BAC} \times 7 = \sin 28^{\circ} \times 7$

$= 0.4695 \times 7 = 3.2865$

よって、BCはおよそ3.3mである。

（２）【$180^{\circ} − \theta$の三角比】

$\cos 152^{\circ} = \cos (180^{\circ} − 28^{\circ})$

$= −\cos 28^{\circ} = −0.8829$

　ちなみに、余弦の加法定理で解くと

$\cos 152^{\circ} = \cos (180^{\circ} − 28^{\circ})$

$= \cos 180^{\circ} \cos 28^{\circ} + \sin 180^{\circ} \sin 28^{\circ}$

$= (−1) \cdot \cos 28^{\circ} + 0 \cdot \sin 28^{\circ}$

$= −\cos 28^{\circ} = −0.8829$

（３）【$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$】

$\sin^2 20^{\circ} + \cos^2 20^{\circ} = 1$

（４）【余弦定理】

$\mathrm{BC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 − 2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \cos A$

$= 5^2 + 3^2 − 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \dfrac{7}{10} = 25 + 9 − 10 \cdot 3 \cdot \dfrac{7}{10}$

$= 34 − 21 = 13$

$\mathrm{BC} > 0$なので$\mathrm{BC} = \sqrt{13}$

よって、BCの長さは$\sqrt{13}$cmである。

（５）【三角形の面積】

　三角形ABCの面積を$S$とおくと

$S = \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \sin \angle A$

$= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sin 60^{\circ} = 3 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

よって、三角形ABCの面積は$\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \; \mathrm{cm}^2$である。

　ちなみに、CからABに垂線を下ろして三角比で三角形ABCの高さを求めることもできる。垂足をHとすると

$\mathrm{CH} = \sin \angle A \times \mathrm{AC} = \sin 60^{\circ} \times 2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3}$

よって、三角形ABCの面積は$3 \times \sqrt{3} \div 2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

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