R5年度第1回高認数学問5解説
問5
(1)【文章題(三角比)】
\mathrm{BC} = \sin \angle\mathrm{BAC} \times 7 = \sin 28^{\circ} \times 7
= 0.4695 \times 7 = 3.2865
よって、BCはおよそ3.3mである。
(2)【180^{\circ} − \thetaの三角比】
\cos 152^{\circ} = \cos (180^{\circ} − 28^{\circ})= −\cos 28^{\circ} = −0.8829
ちなみに、余弦の加法定理で解くと
\cos 152^{\circ} = \cos (180^{\circ} − 28^{\circ})
= \cos 180^{\circ} \cos 28^{\circ} + \sin 180^{\circ} \sin 28^{\circ}
= (−1) \cdot \cos 28^{\circ} + 0 \cdot \sin 28^{\circ}
= −\cos 28^{\circ} = −0.8829
(3)【\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1】
\sin^2 20^{\circ} + \cos^2 20^{\circ} = 1(4)【余弦定理】
\mathrm{BC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 − 2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \cos A= 5^2 + 3^2 − 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \dfrac{7}{10} = 25 + 9 − 10 \cdot 3 \cdot \dfrac{7}{10}
= 34 − 21 = 13
\mathrm{BC} > 0なので\mathrm{BC} = \sqrt{13}
よって、BCの長さは\sqrt{13}cmである。
(5)【三角形の面積】
三角形ABCの面積をSとおくとS = \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \sin \angle A
= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sin 60^{\circ} = 3 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}
よって、三角形ABCの面積は\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \; \mathrm{cm}^2である。
ちなみに、CからABに垂線を下ろして三角比で三角形ABCの高さを求めることもできる。垂足をHとすると
\mathrm{CH} = \sin \angle A \times \mathrm{AC} = \sin 60^{\circ} \times 2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3}
よって、三角形ABCの面積は3 \times \sqrt{3} \div 2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}
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