R６年度第１回高認物理基礎大問４解説

大問４

　図１、図２のように、水平面からの高さが$h$となる斜面上の点A、点Cから、質量$m$の物体を初速度0で滑らせた。
物体が水平面上の点B、点Dを通過するときの運動について、会話１のように生徒と先生が話をしている。

会話１
先生：まず、図１について、点Aと点Bでの物体の力学的エネルギーを考えてみましょう。
重力による位置エネルギーの基準面を水平面とし、重力加速度の大きさを$g$としましょう。
生徒：点Aでの物体の重力による位置エネルギーは$mgh$、点Bでの物体の速さを$v$とすると、点Bでの物体の運動エネルギーは$\dfrac{1}{2}mv^2$となります。
先生：その通りです。
では、斜面との摩擦の影響は無視し、力学的エネルギー保存の法則を用いて、点Bでの速さ$v$を求めてみましょう。
生徒：$v = \fbox{ア}$と表すことができます。
先生：その通りです。
では、図２のように斜面の傾斜を変え、物体を点Cから滑らせたときは、どうなるでしょうか？
生徒：図２のときの力学的エネルギー保存の法則の式は、図１のときと同じ式になります。
また、仕事と運動エネルギーの関係で考えると、図２のときの点Cから点Dまでの【イ】は、図１のときの点Aから点Bまでと同じなので、点Dでの速さは変わらず【ア】になると思います。

問１【力学的エネルギー保存の法則】

　会話１の【ア】に入る数式として正しいものはどれか。

$mgh = \dfrac{1}{2}mv^2$

$2mgh = mv^2$

$v^2 = 2gh$

$v = \sqrt{2gh}$

問２【仕事と運動エネルギー】

　会話１の【イ】に入る語句として正しいものはどれか。
・重力が物体にする仕事の大きさ

　会話１の内容を確かめるために、図３のように、生徒が身近なものを用いた実験を考えた。
会話２、会話３のように生徒と先生が話をしている。

会話２
生徒：プリントをはさむバインダーの裏面を斜面にして、100円玉を実際に滑らせてみます。
先生：グッドアイデアですね。
でも、実際にはバインダーと100円玉の間には動摩擦力が生じますが、動摩擦力の影響はどのように考えましょうか？
生徒：100円玉の質量を$m$、100円玉の斜面を下る加速度の大きさを$a$、重力加速度の大きさを$g$、斜面と物体の間の動摩擦係数を${\mu_1}'$、バインダーと机の間の角度を$\theta$として、運動方程式を立てて加速度を考えてみようと思います。
物体の運動方程式は$ma = \fbox{ウ}$と表すことができます。

問３【斜面を滑る物体にはたらく力】

　会話２の【ウ】に入る数式として正しいものはどれか。
ただし、斜面を滑る物体にはたらく力は、次のように図示できるものとする。

・$mg\sin \theta - {\mu_1}'mg\cos \theta$

会話３
先生：この運動方程式は両辺に質量$m$があるので、両辺を質量$m$で割ると加速度$a$の式の中に質量$m$がなくなります。
つまり、質量を変えても加速度は変わらないということがわかりますね。
生徒：実験をして確かめてみますが、質量以外の条件は揃える必要があると思います。
先生：そうですね。斜面の角度が変わらないようにしっかり固定しましょう。
あとは、質量だけを変えられる工夫が必要ですね。
生徒：それなら、ペットボトルのキャップの中にちょうど100円玉が入るので、入れる枚数を変えれば、質量を変えて実験ができると思います。
先生：素晴らしい！ナイスアイデアですね。この方法なら【エ】。

問４【動摩擦係数】

　会話３の下線部は、ペットボトルのキャップに100円玉を入れるというアイデアの素晴らしさに先生が感激している様子であるが、会話３の【エ】に入る文として最も適切なものはどれか。
・動摩擦係数を変えずに、質量のみを変化させて実験ができますね

　図４のように、ペットボトルのキャップの中に100円玉を１枚入れた場合と５枚入れた場合でそれぞれ実験を行い、質量を変えても加速度は変わらないことを確かめようと会話４のように生徒と先生が話をしている。

会話４
先生：質量を変えても斜面上の物体の加速度は変わらないことを確かめるには、何を測定すれば良いかわかりますか？
生徒：加速度は【オ】と定義できるから、最下点での速さが同じになることを確かめれば良いと思います。
つまり、100円玉を１枚入れた場合と５枚入れた場合で、最下点での速さが同じになるはずなので、最下点での速さを測定して比較すればいいですね。
先生：でも、スピード計測器がありませんね。
生徒：それでは、最下点からの水平面で静止するまでの移動距離を測定することでも、物体の加速度が変わらないことを確かめられますよね。
先生：そうですね。やってみましょう。
生徒：100円玉を１枚入れた場合と５枚入れた場合について、それぞれ５回ずつ実験を行ってみます。

問５【加速度】

　会話４の【オ】に入る語句として正しいものはどれか。
・単位時間あたりの速度の変化

　生徒が実験をしたところ、次のような結果になった。
この実験結果について会話５のように生徒と先生が話をしている。

会話５
先生：質量$m$の物体が最下点を速さ$v$で通過し、動摩擦力$f'$を受けて$x$だけ進んで静止したとすると、静止するまでの移動距離はどうなると思いますか。
生徒：仕事と運動エネルギーの関係から計算すると、$x = \dfrac{mv^2}{2f'}$と表すことができます。
さらに、動摩擦力$f'$は、机と物体との間の動摩擦係数を${\mu_2}'$とすると、$f' = {\mu_2}'mg$と表せるので、$f'$の式を$x$の式に代入すると、分母と分子の$m$を消去することができて、$x = \fbox{カ}$となりました。
先生：素晴らしいですね。この計算結果と実験結果とが一致しましたね。
生徒：100円玉を１枚入れた場合と５枚入れた場合で、水平面で静止するまでの移動距離が同じになり、斜面の最下点での速さが同じになることがわかりました。
以上より、質量を変えても斜面上を滑る物体の加速度は変化しないといえます。

問６【仕事と運動エネルギー】

　会話５の【カ】に入る数式として正しいものはどれか。
・$x = \dfrac{mv^2}{2f'} = \dfrac{mv^2}{2{\mu_2}'mg} = \dfrac{v^2}{2{\mu_2}'g}$

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