反比例と対称。

１　反比例と点対称

　中１の問題集に「反比例のグラフは原点に対して対称」と書いてあった。
これについてまず確認してみたい。

対応する点の座標をそれぞれ$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$とする。

$x_1 = s$とおくと、反比例の式$y = \dfrac{a}{x}$より、対応する点の座標はそれぞれ$(s, \dfrac{a}{s}), (-s, -\dfrac{a}{s})$となる。

よって、$x_2 = -x_1, y_2 = -y_1$である。

２　反比例と線対称

　反比例のグラフは線対称でもあることを確認してみたい。

反比例の式を$y = \dfrac{a}{x}$とすると、対称の軸$y = x$（または$y = -x$）と垂直な直線$y = -x + b$（または$y = x + b$）と、反比例のグラフの二交点の中点が対象の軸上にあるはずである。

（1）対象の軸が$y = x$の場合

$\dfrac{a}{x} = -x + b$

$x^2 - bx + a = 0$

$x = \dfrac{b \pm\sqrt{b^2 - 4a}}{2}$

$y = \dfrac{b \mp\sqrt{b^2 + 4a}}{2}$

よって、中点の座標は$\left( \dfrac{b}{2}, \dfrac{b}{2} \right)$となり、これは対処の軸$y = x$上にある。

（2）対象の軸が$y = -x$の場合

$\dfrac{a}{x} = x + b$

$x^2 + bx - a = 0$

$x = \dfrac{-b \pm\sqrt{b^2 + 4a}}{2}$

$y = \dfrac{b \pm\sqrt{b^2 + 4a}}{2}$

よって、中点の座標は$\left( -\dfrac{b}{2}, \dfrac{b}{2} \right)$となり、これは対処の軸$y = -x$上にある。

３　対称性

　そもそも対称とは何かと考えると、高校数学までで学ぶ線対称や点対称の一般化まで考えることができる。
そこからさらに進むと高校数学の範囲を越えると思うので、今回はここまでとしたい。