R２年度第２回高認数学問１解説

問１

（１）【因数分解】

$4x^2 - 4x - 3 = (2x + 1)(2x - 3)$

（２）【式の展開と乗法公式】

$(a + b)(a - b + 1)$

$= (a + b)\{(a - b) + 1\}$

$= (a + b)(a - b) + (a + b)$

$= a^2 - b^2 + a + b$

（３）【命題の真偽と反例】

・$(\mathrm{P})$：「四角形$\mathrm{ABCD}$の内角の大きさがすべて等しいならば、四角形$\mathrm{ABCD}$は正方形である」について、

$s$：「四角形$\mathrm{ABCD}$の内角の大きさがすべて等しい」、

$t$：「四角形$\mathrm{ABCD}$は正方形である」とおくと、

$s \xrightarrow{\times} t$（反例：長方形）

$s \xleftarrow{\circ} t$

よって、$s \Leftarrow t$（$s \Rightarrow t$は偽）

$(\mathrm{P})$は偽である。

・$(\mathrm{Q})$：「自然数$n$が$4$の倍数ならば、$n$は偶数である」について、

$u$：「自然数$n$は$4$の倍数である」、

$v$：「$n$は偶数である」とおくと、

$u \xrightarrow{\circ} v$

$u \xleftarrow{\times} v$（反例：$2, 6, 10, 14, \cdots$）

よって、$u \Rightarrow v$は真

$(\mathrm{Q})$は真である。

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