二項分布、正規分布、標準化（標準正規分布）。

１　確率・統計の復習

　最近図書館で借りて読んだ『経済数学の直観的方法 確率・統計編』に触発されて、改めて確率・統計について考えてみた。

２　二項分布と正規分布

　二項分布を式変形していくと次の近似式が得られる（ちなみに、式変形の詳細は少し難しいので省略）。

${}_n \mathrm{C}_r p^r q^{n - r} \fallingdotseq \dfrac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{(r - np)^2}{2npq}}$

$\mu = np, \sigma = \sqrt{npq}, x = r$とおくと

$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{(r - np)^2}{2npq}} = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$

３　具体例

　簡単な具体例として$p = q = \dfrac{1}{2}$とする。

$\mu = np = \dfrac{n}{2}, \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{\dfrac{n}{4}} = \dfrac{\sqrt{n}}{2}, x = r$とおくと

${}_n \mathrm{C}_r p^r q^{n - r} = {}_n \mathrm{C}_r \left( \dfrac{1}{2} \right)^r \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - r} = {}_n \mathrm{C}_r \left( \dfrac{1}{2} \right)^n = {}_n \mathrm{C}_x \left( \dfrac{1}{2} \right)^n$

$\fallingdotseq \dfrac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{(r - np)^2}{2npq}} = \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2n\pi}{4}}}e^{-\frac{\left( x - \frac{n}{2} \right)^2}{\frac{2n}{4}}} = \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{n\pi}{2}}}e^{-\frac{\left( x - \frac{n}{2} \right)^2}{\frac{n}{2}}} = \sqrt{\dfrac{2}{n\pi}}e^{-\frac{2\left( x - \frac{n}{2} \right)^2}{n}}$

GRAPESで描画したとき$n$の値を大きくしていくと、曲線の中心がどんどん右にシフトしてしまう。

・二項分布と正規分布（1）（オンライン補習塾 from 東三河）

このままでは見にくいので、中心が$x$軸となるように平行移動してみる。

${}_n \mathrm{C}_{x + \frac{n}{2}} \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \fallingdotseq \sqrt{\dfrac{2}{n\pi}}e^{-\frac{2x^2}{n}}$

・二項分布と正規分布（2）（オンライン補習塾 from 東三河）

４　標準正規分布（標準化）

　正規分布は標準化することができる。
標準正規分布は平均$0$、分散$1$の正規分布である。
高校数学の確率・統計の問題を、正規分布表で簡単に解けるのはこのおかげである。

正規分布は$U = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$という変換により標準化できると、教科書では説明される。

$E\left( \dfrac{X - \mu}{\sigma} \right) = \dfrac{E(X) - E(\mu)}{\sigma} = \dfrac{\mu - \mu}{\sigma} = 0$

$V\left( \dfrac{X - \mu}{\sigma} \right) = \dfrac{V(X) - V(\mu)}{\sigma^2} = \dfrac{\sigma^2 - 0}{\sigma^2} = 1$

まぁ確かに平均$0$、分散$1$である。
$\mu = 0, \sigma = 1$のとき

$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$

標準正規分布となる。

５　式変形（標準化）

$U = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$

$\sigma U = X - \mu$

$X = \sigma U + \mu$

$\dfrac{dX}{dU} = \sigma$

よって

$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\{ (\sigma U + \mu) - \mu \}^2}{2\sigma^2}} \cdot \sigma = \dfrac{\sigma}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(\sigma U + \mu - \mu)^2}{2\sigma^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\sigma U)^2}{2\sigma^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\sigma^2 U^2}{2\sigma^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{U^2}{2}}$

・正規分布の標準化の意味と証明（高校数学の美しい物語）

６　直感的な説明

　上からパチンコ玉を落とすと、格子点にある釘に当たって右に行ったり左に行ったりしながら、下に落下するゲームを考える。

右に行く確率も左に行く確率もそれぞれ$\dfrac{1}{2}$だとすると、二項分布なので

${}_n \mathrm{C}_{r} \left( \dfrac{1}{2} \right)^r \left( \dfrac{1}{2} \right)^l = {}_n \mathrm{C}_{r} \left( \dfrac{1}{2} \right)^r \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - r} = {}_n \mathrm{C}_{r} \left( \dfrac{1}{2} \right)^n$

$x = 0$の真上から落とすとすると、落下地点の$x$座標は

$x = r - l = r - (n - r) = 2r - n$

$x + n = 2r$

$r = \dfrac{x + n}{2}$

${}_n \mathrm{C}_{r} \left( \dfrac{1}{2} \right)^n = {}_n \mathrm{C}_{\frac{x + n}{2}} \left( \dfrac{1}{2} \right)^n$

$\fallingdotseq \sqrt{\dfrac{2}{n\pi}}e^{-\frac{2\left( \frac{x + n}{2} - \frac{n}{2} \right)^2}{n}} = \sqrt{\dfrac{2}{n\pi}}e^{-\frac{2\left( \frac{x}{2} \right)^2}{n}} = \sqrt{\dfrac{2}{n\pi}}e^{-\frac{x^2}{2n}}$

・二項分布と正規分布（3）（オンライン補習塾 from 東三河）