座標いろいろ。
１ 座標とは？
座標には、いろいろな種類がある。中学・高校数学まで、横に$x$軸、縦に$y$軸を引き、$xy$平面上にグラフを描くことを勉強する。
大学まで行って理系の学問を勉強するには、中学・高校数学までの直感的に理解しやすいシンプルな座標系だけでは済まなくなる。
多くの人が理系の学問で挫折する理由の一つではないかと思う。
そう言う自分も、理系に関する記事を読む際に、四苦八苦している。
そういう訳で、この記事は自分用のメモでもある。
２ 直交座標系
私たちが中学・高校数学まで慣れ親しんできたのが、この直交座標系である。
平面上の座標の概念を確立したデカルトにちなんで、デカルト座標系と呼ばれることもある。
$x$軸、$y$軸、$z$軸を引けば、私たちが存在するこの3次元空間を表現することができる。
さらに拡張・一般化して、より高次元の直交座標系を考えることもできる。
そうすると、軸を引いてグラフを描くことができなくなり、直感的に理解するのが難しくなる。
大学数学入門で線形代数学を勉強することになるけれど、ここから行列との格闘が始まることになる。
３ 極座標系
$n$次元ユークリッド空間上、1個の動径$r$と$n − 1$個の偏角$\theta_1, \cdots , \theta_{n - 1}$からなる座標。
たとえば、2次元なら$r$と$\theta$で表現できる（円座標）。
複素数体上にも定義でき、これが高校の数学IIIで習う極形式である。
オイラーの公式を利用すると$z = re^{i\theta}$と表すことができる。
円座標に$z$軸を加えれば、$xyz$空間を表現できる。
これは円筒座標系と呼ばれる。
3次元ユークリッド空間における極座標系が球座標。
球面座標系とも呼ばれる。
1個の動径$r$と2個の偏角$\theta, \varphi$で表現され、$r$を固定して2個の偏角を動かせば$xyz$空間上で球を描く。
４ 斜交座標系
中学・高校数学まで、軸が2本でも3本でも、それぞれ直角に交差することを前提としてきた。
しかし、直角ではなく斜めに交差する座標系を考えることもできる。
斜交座標系は、軸が斜めに交わる座標系であり、直交座標系の拡張と考えることもできる。
斜交座標系から直交座標系への変換、直交座標系から斜交座標系への逆変換が可能なので、内積など直交座標系で勉強したものを表現できる。
５ 一般化座標系
この記事は、座標の一般化という考え方をメモしたくて書き始めたものである。
一般化座標系は、物体の運動について、なるべく少ない変数を用いて簡単に扱うための座標系である。
一般化座標は$q_i \; (n = 1, 2, 3, \cdots)$と表される。
速度は$\dot{q}_i$、加速度は$\ddot{q}_i$で、文字の上の点が微分を表している。
６ 人生いろいろ
数学は抽象化と論理の学問であるというけれど、数学や物理学など理系の学問はレベルが上がるとどんどん高度に抽象化されていき、直感的な理解が難しくなっていく。
難しい専門書を読んでいると、深い森の中に迷い込んでしまったように、何のために何を勉強しているのかさえ分からなくなることがある。
座標いろいろ、人生いろいろ。
自分が興味を持ったことを、自分のタイミングで、好きなだけ勉強すればよいと思う。
何かの役に立つかどうかは別として・・・それが自由というものだ（｀・ω・´）