サンクトペテルブルクのパラドックスを高校数学で考察してみた。
１ サンクトペテルブルクのパラドックス
コインを表が出るまで投げ続ける。１回目に表が出たら１円、
１回目は裏、２回目に表が出たら２円、
２回目まで裏、３回目に表が出たら４円、
３回目まで裏、４回目に表が出たら８円、
$n - 1$回目まで裏、$n$回目に表が出たら$2^{n - 1}$円の賞金がもらえる。
期待値$W = \displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} \left( \dfrac{1}{2^k} \cdot 2^{k - 1} \right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \cdots = \infty$
期待値が無限大に発散するので、参加費がいくら高くてもこのギャンブルに参加した方がよいという結論になってしまうというパラドックスである。
２ 賞金は90％の確率で何円以下になるか？
このギャンブルでは、奇跡的に延々と裏が出た後に表が出れば大金を得られるけれど、ほとんどの場合、数回裏が出た後に表が出て数円～数十円もらえるだけだろう。これを高校数学で確認してみたい。
$n$回目に表が出る確率を$p_n = \left( \dfrac{1}{2} \right)^n$とおく。
１回目に表が出る確率は$\dfrac{1}{2}$、２回目に表が出る確率は$\dfrac{1}{4}$、３回目に表が出る確率は$\dfrac{1}{8}$、・・・・・・
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots \geq 0.99$となるときの$n$を求めたい。
$S_n = \dfrac{\dfrac{1}{2}\left\{ 1 - \left( \dfrac{1}{2} \right) ^n \right\}}{1- \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}\left( 1 - \dfrac{1}{2^n} \right)}{\dfrac{1}{2}} = 1 - \dfrac{1}{2^n} \geq 0.9$
$0.1 \geq \dfrac{1}{2^n}$
$1 \geq \dfrac{10}{2^n}$
$2^n \geq 10$
よって、$n \geq 4$
$n = 4$のとき、賞金は$2^{4 - 1} = 2^3 = 8$（円）
ちなみに、$n = 4$までの期待値を計算すると、$\dfrac{1}{2} \times 4 = \dfrac{4}{2} = 2$（円）
３ 賞金は99％の確率で何円以下になるか？
$S_n \geq 0.99$
$1 - \dfrac{1}{2^n} \geq 0.99$
$0.01 \geq \dfrac{1}{2^n}$
$1 \geq \dfrac{100}{2^n}$
$2^n \geq 100$
よって、$n \geq 7$
$n = 7$のとき、賞金は$2^{7 - 1} = 2^6 = 64$（円）
ちなみに、$n = 7$までの期待値を計算すると、$\dfrac{1}{2} \times 7 = \dfrac{7}{2} = 3.5$（円）
４ 賞金は99.9％の確率で何円以下になるか？
$S_n \geq 0.999$$1 - \dfrac{1}{2^n} \geq 0.999$
$0.001 \geq \dfrac{1}{2^n}$
$1 \geq \dfrac{1000}{2^n}$
$2^n \geq 1000$
よって、$n \geq 10$
$n = 10$のとき、賞金は$2^{10 - 1} = 2^9 = 512$（円）
ちなみに、$n = 10$までの期待値を計算すると、$\dfrac{1}{2} \times 10 = \dfrac{10}{2} = 5$（円）
５ 賞金は99.99％の確率で何円以下になるか？
$S_n \geq 0.9999$$1 - \dfrac{1}{2^n} \geq 0.9999$
$0.0001 \geq \dfrac{1}{2^n}$
$1 \geq \dfrac{10000}{2^n}$
$2^n \geq 10000$
よって、$n \geq 14$
$n = 14$のとき、賞金は$2^{14 - 1} = 2^{13} = 8192$（円）
ちなみに、$n = 14$までの期待値を計算すると、$\dfrac{1}{2} \times 14 = \dfrac{14}{2} = 7.5$（円）
６ 確率の低いギャンブル
確率の低いギャンブルは、ある程度の回数参加しないとまず当たらない。たとえば$\dfrac{1}{100}$の確率で100万円が当たるギャンブルの場合、１回参加しただけではほとんど当たらないだろう。
ちなみに期待値は$100 \times \dfrac{1}{100} = 1$（万円）
Excel VBAに１～1000回、このギャンブルをさせてみると、
Option Explicit
Sub keisan()
Dim i As Long, n As Long
Dim c As Integer
Dim M As Long, TM As Long
For n = 1 To 1000
TM = 0
For i = 1 To n
M = 0
Randomize
c = Int(100 * Rnd + 1)
If c = 100 Then
M = 100
End If
TM = TM + M
Next i
Cells(n, 3).Value = TM / n
Next n
End Sub
100人の参加者に１～1000回、このギャンブルをさせてみると（100人の平均値）、
Option Explicit
Sub keisan()
Dim i As Long, j As Long, n As Long
Dim c As Integer
Dim M As Long, TM As Long, TTM As Long
For n = 1 To 1000
TTM = 0
For j = 1 To 100
TM = 0
For i = 1 To n
M = 0
Randomize
c = Int(100 * Rnd + 1)
If c = 100 Then
M = 100
End If
TM = TM + M
Next i
TTM = TTM + TM
Next j
Cells(n, 3).Value = (TTM / 100) / n
Next n
End Sub
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７ 参考
・サンクトペテルブルクのギャンブルの参加費が、本当に$\log_2 n$になるのかExcel VBAで検証してみた。：https://tanakah17191928.blogspot.com/2023/10/log2-nexcel-vba.html
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