サンクトペテルブルクのギャンブルの参加費が、本当に$\log_2 n$になるのかExcel VBAで検証してみた。

１　ウィリアム・フェラーの解答

　前回、サンクトペテルブルクのパラドックスについて、ウィリアム・フェラーの解答を拝借して考察してみた。

・サンクトペテルブルクのギャンブルを世界規模で行う場合の参加費。：https://tanakah17191928.blogspot.com/2023/10/blog-post_28.html

ゲームを$n$回繰り返す場合、第$n$回目の獲得賞金を$X_n$とすると、

$\dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n} = \log_2 n$

これをExcel VBAで検証してみることにした。

２　Excel VBAに１～10000回のサンクトペテルブルク・ギャンブルをさせてみた

Option Explicit
 
Sub keisan()
    Dim i As Long, j As Long, n As Long
    Dim c As Integer
    Dim M As Long, TM As Long

    For n = 1 To 10000
        TM = 0
        For j = 1 To n
            M = 0
            i = 1
            Do
                Randomize
                c = Int(2 * Rnd)
                    If c = 1 Then
                        Exit Do
                    End If
                M = 2 ^ (i - 1)
                i = i + 1
            Loop
            TM = TM + M
        Next j
        Cells(n, 3).Value = TM / n
    Next n
End Sub

グラフにして$\log_2 n$と比較すると、【訂正箇所については、後述の追記参照】

なんか想像してたのと違う（´・ω・｀）
$\dfrac{1}{2}\log_2 n$と比較すると、

３　100人の参加者に１～1000回のサンクトペテルブルク・ギャンブルをさせてみた（100人の平均値）

　100人の参加者にそれぞれ１～1000回ずつプレイさせて、回数ごとに100人の平均値を計算するという方法をプログラムで表現してみた。

Option Explicit
 
Sub keisan()
    Dim i As Long, j As Long, k As Long, n As Long
    Dim c As Integer
    Dim M As Long, TM As Long, TTM As Long
    
    For n = 1 To 1000
        TTM = 0
        For k = 1 To 100
            TM = 0
            For j = 1 To n
                M = 0
                i = 1
                Do
                    Randomize
                    c = Int(2 * Rnd)
                        If c = 1 Then
                            Exit Do
                        End If
                    M = 2 ^ (i - 1)
                    i = i + 1
                Loop
                TM = TM + M
            Next j
            TTM = TTM + TM
        Next k
        Cells(n, 3).Value = (TTM / 100) / n
    Next n
End Sub

グラフにして$\log_2 n$と比較すると、【訂正箇所については、後述の追記参照】

やっぱりなんか想像してたのと違う（´・ω・｀）

$\dfrac{1}{2}\log_2 n$と比較すると、

プログラムに間違いがあるのか、そもそもVBAでシミュレーションすることに無理があるのか、それともこれはこれで正しいのか？

少し頭を冷やしてから再考してみたい。

４　追記：訂正箇所について

　$\log_2 n$ではなく、$\dfrac{1}{2}\log_2 n$に訂正しました。

１回目に表が出たときの賞金を１円とするか、２円とするかの違いみたいです。

【参考】
・サンクトペテルブルクのパラドックス（おかしな話）―期待値から経済学へ―（はまぐりの数学）

・サンクトペテルブルクのパラドックス（まとめ記事）に戻る。