R５年度第２回高認数学問４解説

問４

（１）【二次関数の最大値・最小値】

　$y = -(x - 1)^2 + 3$のグラフは上に凸で、頂点の座標は$(1, 3)$である。
軸が$x = 1$で、定義域が$0 \leq x \leq 2$なので

$x = 1$のとき最大値をとる。

$-(1 - 1)^2 + 3 = 0 + 3 = 3$

$x = 0$または$x = 2$のとき最小値をとる。$x = 0$のとき

$-(0 - 1)^2 + 3 = -(-1)^2 + 3 = -1 + 3 = 2$

　$x = 2$のとき

$-(2 - 1)^2 + 3 = -(1)^2 + 3 = -1 + 3 = 2$

（２）【二次関数のグラフと$x$軸との共有点（二次方程式）】

　$3x^2 - 8x + 5 = 0$を二次方程式の解の公式で解くと

$x = \dfrac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

$= \dfrac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6} = \dfrac{8 \pm \sqrt{4}}{6} = \dfrac{8 \pm 2}{6}$

$= \dfrac{8 + 2}{6}, \dfrac{8 - 2}{6} = \dfrac{10}{6}, \dfrac{6}{6} = \dfrac{5}{3}, 1$

よって、$y = 3x^2 − 8x + 5$のグラフと$x$軸との共有点の座標は、$\left( \dfrac{5}{3}, 0 \right) , (1, 0)$である。

　ちなみに、$3x^2 − 8x + 5 = 0$を因数分解で解くと

$(3x − 5)(x − 1) = 0$

よって、$x = \dfrac{5}{3}, 1$

（３）【二次不等式】

　$y = x^2 + 3x$のグラフは

よって、$x^2 + 3x < 0$の解は

$-3 < x < 0$（②）

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