R５年度第２回高認数学問５解説
問５
（１）【文章題（三角比）】
$\mathrm{BC} = \tan \angle\mathrm{BAC} \times 30 = \tan 62^{\circ} \times 30$$= 1.8807 \times 30 = 56.421$
よって、BCはおよそ56.4mである。
（２）【$180^{\circ} − \theta$の三角比】
$\sin 118^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 62^{\circ})$$= \sin 62^{\circ} = 0.8829$
ちなみに、正弦の加法定理で解くと
$\sin 118^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 62^{\circ})$
$= \sin 180^{\circ} \cos 62^{\circ} - \cos 180^{\circ} \sin 62^{\circ}$
$= 0 \cdot \cos 62^{\circ} - (-1) \cdot \sin 62^{\circ}$
$= −(-\sin 62^{\circ}) = \sin 62^{\circ} = 0.8829$
（３）【$180^{\circ} − \theta$の三角比】
$\sin 135^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 45^{\circ})$$= \sin 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
（４）【余弦定理】
$\mathrm{BC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 − 2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \cos A$$= 5^2 + 6^2 − 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \dfrac{3}{4} = 25 + 36 − 5 \cdot 3 \cdot 3$
$= 61 − 45 = 16$
$\mathrm{BC} > 0$なので$\mathrm{BC} = \sqrt{16} = 4$
よって、BCの長さは４cmである。
（５）【正弦定理】
$\dfrac{\mathrm{BC}}{\sin \angle \mathrm{A}} = 2R$$R = \dfrac{\mathrm{BC}}{2\sin \angle \mathrm{A}} = \dfrac{5}{2\sin 30^{\circ}}$
$= \dfrac{5}{2 \cdot \dfrac{1}{2}} = \dfrac{5}{1} = 5$
よって、外接円の半径$R$の長さは5cmである。
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