浴槽のお湯は何リットル？
１ 水面の高さからその容積を求める（積分）
下図の浴槽に高さ$h$cmまでお湯を入れると何リットルになるか。
上面は横が$c$cm、縦が$d$cm。
浴槽自体の高さは$e$cm。
浴槽に張ったお湯の高さを$h$cmとおくと、その水面の面積は
$\left\{ a + (c - a) \times \dfrac{h}{e} \right\} \left\{ b + (d - b) \times \dfrac{h}{e} \right\} = \left\{ a + \dfrac{(c - a)h}{e} \right\} \left\{ b + \dfrac{(d - b)h}{e} \right\}$
$= ab + \dfrac{a(d - b)h}{e} + \dfrac{b(c - a)h}{e} + \dfrac{(c - a)(d - b)h^2}{e^2}$
$= \dfrac{(c - a)(d - b)}{e^2}h^2 + \dfrac{a(d - b) + b(c - a)}{e}h + ab$
$= \dfrac{(c - a)(d - b)}{e^2}h^2 + \dfrac{(ad - ab + bc - ab)}{e}h + ab$
$= \dfrac{(c - a)(d - b)}{e^2}h^2 + \dfrac{(ad + bc - 2ab)}{e}h + ab$
積分して容積を求めると
$V = \displaystyle\int^{h}_{0} \left\{ \dfrac{(c - a)(d - b)}{e^2}h^2 + \dfrac{(ad + bc - 2ab)}{e}h + ab \right\} dh$
$= \left[ \dfrac{(c - a)(d - b)}{3e^2}h^3 + \dfrac{ad + bc - 2ab}{2e}h^2 + abh \right]_0^h$
$= \dfrac{(c - a)(d - b)}{3e^2}h^3 + \dfrac{ad + bc - 2ab}{2e}h^2 + abh \; (\mathrm{cm}^3)$
１リットルは$1000\mathrm{cm}^3$なので、これを1000で割ればリットルになる。
２ 容積からその水面の高さを求める（三次方程式：カルダノの公式）
（１）立方完成
$V = \dfrac{(c - a)(d - b)}{3e^2}h^3 + \dfrac{ad + bc - 2ab}{2e}h^2 + abh$$\dfrac{(c - a)(d - b)}{3e^2}h^3 + \dfrac{ad + bc - 2ab}{2e}h^2 + abh - V = 0$
$h^3 + \dfrac{(ad + bc - 2ab) \times 3e^2}{2e \times (c - a)(d - b)}h^2 + \dfrac{ab \times 3e^2}{(c - a)(d - b)}h - \dfrac{V \times 3e^2}{(c - a)(d - b)} = 0$
$h^3 + \dfrac{3(ad + bc - 2ab)e^2}{2(c - a)(d - b)e}h^2 + \dfrac{3abe^2}{(c - a)(d - b)}h - \dfrac{3e^2 V}{(c - a)(d - b)} = 0$
$h^3 + \dfrac{3(ad + bc - 2ab)e}{2(c - a)(d - b)}h^2 + \dfrac{3abe^2}{(c - a)(d - b)}h - \dfrac{3e^2 V}{(c - a)(d - b)} = 0$
ここで$A = \dfrac{3(ad + bc - 2ab)e}{2(c - a)(d - b)}, B = \dfrac{3abe^2}{(c - a)(d - b)}, C = -\dfrac{3e^2 V}{(c - a)(d - b)}$とおくと
$h^3 + Ah^2 + Bh + C = 0$
$\left( h + \dfrac{A}{3} \right)^3 - 3h \cdot \dfrac{A^2}{3^2} - \dfrac{A^3}{3^3}+ Bh + C = 0$
$\left( h + \dfrac{A}{3} \right)^3 + Bh - \dfrac{A^2}{3}h + C - \dfrac{A^3}{27} = 0$
$\left( h + \dfrac{A}{3} \right)^3 + \left( B - \dfrac{A^2}{3} \right) h + C - \dfrac{A^3}{27} = 0$
$\left( h + \dfrac{A}{3} \right)^3 + \left( B - \dfrac{A^2}{3} \right) \left( h + \dfrac{A}{3} \right) - \left( B - \dfrac{A^2}{3} \right) \cdot \dfrac{A}{3} + C - \dfrac{A^3}{27} = 0$
$\left( h + \dfrac{A}{3} \right)^3 + \left( B - \dfrac{A^2}{3} \right) \left( h + \dfrac{A}{3} \right) - \dfrac{AB}{3} + \dfrac{A^3}{9} + C - \dfrac{A^3}{27} = 0$
$\left( h + \dfrac{A}{3} \right)^3 + \left( B - \dfrac{A^2}{3} \right) \left( h + \dfrac{A}{3} \right) + C - \dfrac{AB}{3} + \dfrac{2A^3}{27} = 0$
$H = h + \dfrac{A}{3}$とおくと
$H^3 + \left( B - \dfrac{A^2}{3} \right) H + C - \dfrac{AB}{3} + \dfrac{2A^3}{27} = 0$
（２）$H^3 + pH + q = 0$を解く
$p = B - \dfrac{A^2}{3}, q = C - \dfrac{AB}{3} + \dfrac{2A^3}{27}$とおくと$H^3 + pH + q = 0$
ここで$H = u + v$とおくと
$u^3 + v^3 + q + (3uv + p)(u + v) = 0$
$\left\{
\begin{array}{l}
u^3 + v^3 + q = 0 \\
3uv + p = 0
\end{array}
\right.$
$\left\{
\begin{array}{l}
u^3 + v^3 = -q \\
u^3 v^3 = -\left( \dfrac{p}{3} \right)^3
\end{array}
\right.$
$u^3, v^3$を解とする二次方程式$t^2 + qt - \left( \dfrac{p}{3} \right)^3 = 0$を解くと
$u^3, v^3 = \dfrac{-q \pm \sqrt{q^2 + 4 \cdot \left( \dfrac{p}{3} \right)^3}}{2} = -\dfrac{q}{2} \pm \sqrt{\left( \dfrac{q}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{p}{3} \right)^3}$
$H$は実数なので
$H = \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} + \sqrt{\left( \dfrac{q}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{p}{3} \right)^3}} + \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} - \sqrt{\left( \dfrac{q}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{p}{3} \right)^3}}$
よって、$h = \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} + \sqrt{\left( \dfrac{q}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{p}{3} \right)^3}} + \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} - \sqrt{\left( \dfrac{q}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{p}{3} \right)^3}} - \dfrac{A}{3}$
ただし、$p = B - \dfrac{A^2}{3}, q = C - \dfrac{AB}{3} + \dfrac{2A^3}{27}$
$A = \dfrac{3(ad + bc - 2ab)e}{2(c - a)(d - b)}, B = \dfrac{3abe^2}{(c - a)(d - b)}, C = - \dfrac{3e^2 V}{(c - a)(d - b)}$
３ 検算
計算間違いがないかExcelで確認したので多分大丈夫（｀･ω･´）・浴槽の湯量（Excel）
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