3-2 テイラー・ルールのための財政的裏付け。
PAPER MONEY
CHRISTOPHER A. SIMS
http://sims.princeton.edu/yftp/PaperMoney/PaperMoneyAER.pdf
下記の文章は、上記のクリストファー・シムズ氏の論文『紙幣』の「3-2 テイラー・ルールのための財政的裏付け。」の原文を、英語から日本語に翻訳したものです。
下記の文章を、原文のライセンス（クリエイティブ・コモンズ 表示-継承 3.0 非移植）に従い、同様のライセンス（クリエイティブ・コモンズ 表示-継承 3.0 非移植）により公開します。
I translated PAPER MONEY, CHRISTOPHER A. SIMS, III.2. Fiscal backup for a Taylor rule. into Japanese.
This document is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Unported License.
彼の論拠については分からない。
しかし、いずれにしてもこの節における単純なモデルは、無視できるほど小さい規模ではあるが、たとえ均衡状態であろうと常になされる財政支援を主張することにより、テイラー・ルールによる物価水準の一意性を証明し得ることを示している。
その均衡は、財政支援なしのモデルのそれへと、任意に近接する。
このモデル及び先行モデルにおいて、安定的物価のためには財政支援の存在が重要であるが、その支援を市場が感知する場合には、均衡における支援の規模は極めて小さくなることを結論する。
財政支援はどこでなされるのか、あるいはそれが存在するかどうかさえ不確かである、EMUのような制度は不安定化している；平時においては、均衡状態で大規模な財政支援による介入はなされないので、財政支援の重要性は見失われやすい。
モデルは非常に単純であり、連続的に時間が延長される、Leeper (1991)による独自の枠組みである。
金融政策のルールは、
\[
\dot{r} = \gamma (\theta \dot{p} - (r - p)) \quad\cdots\cdots(21)
\]
である。
名目利子率$r$は遅延（より大きな$\gamma$は、より少ない遅延を意味する）を伴って、インフレ$\dot{p}$に反応する。
インフレに対して金利を最終的には、1に対して1以上反応させる「テイラー原則」は、ここでは$\theta > 1$に相当する。
一定の実質レート$\rho$と、$\rho$と名目レートを連結するリスク選好型フィッシャー方程式を仮定すれば、
\[
r = \rho + \widehat{\dot{p}} \quad\cdots\cdots(22)
\]
である。
$\widehat{\dot{p}}$の記号は、物価の対数の予測される経路についての時間微分である。
完全予測解の経路上、初期日以降の全日付で$\widehat{\dot{p}} = \dot{p}$であるが、$p$は初期日においては不連続に動き得る。
これら2つの方程式(21)と(22)は、$p$についての2階微分方程式を導出して解くことができる：
\[
\ddot{p} = \gamma (\theta - 1) \dot{p} \quad\cdots\cdots(23)
\]
初期日$t = 0$後、あらゆる完全予測均衡経路を保持する。
$\theta > 1$では、不安定な微分方程式であり、解は$\dot{p}_t = \dot{p_0} e^{\gamma (\theta -1)}$の形式である。
Leeperは、そのような破裂的な物価経路は均衡経路ではないと仮定し、方程式に対する一つの安定的な解、$\dot{p} \equiv 0$に焦点を合わせた。
(22)より、そのような経路の一つとして、$r = \rho$である。
(21)より、これはまた、$\dot{r} = 0$を含意する。
政策方程式(21)は、現在の（期待的なものではない）導関数を制御するので、$r - \gamma^{\theta}p$の時経路が、初期日$t = 0$においてさえも、微分可能であることを含意する。
しかし、このことは、$\Delta r = \gamma^{\theta}\Delta p$を満たす限りにおいて、$p$と$r$の両方共に、$t = 0$において不連続にジャンプすることをも可能とする。
このことが初期物価を確定的にする。
時間ゼロにおけるこれら変数（すなわち、ジャンプ前の値）の左限を示すため$\bar{r_0}, \; \bar{p_0}$を使用して、
\[
\Delta r_0 = \rho - \bar{r_0} = \gamma^{\theta}(p_0 - \bar{p_0}) = \gamma^{\theta}\Delta p_0 \quad\cdots\cdots(24)
\]
となる。
この方程式は、$\rho$、$\bar{r_0}$そして$\bar{p_0}$の関数として、$p_0$（時間0における物価の対数の右限）という一意の値として解くことができる。
もし初期物価がこれを下回れば、$r$よって$\widehat{\dot{p}}$もまたより低くなるであろうし、それはインフレが指数関数的に$-\infty$へ向かうことを意味する。
政策ルール(21)はそのような経路上で維持することは不可能であり、それは$r$が負の値になることを要する。
そのような経路を除外する財政政策を有して、極めて低いインフレ率においては、ルールが変更されると仮定するのは当然のことである。
初期物価とインフレ率が定常状態の域を上回れば、インフレ率は指数関数的に上昇する。
無利子である貨幣残高を保有する機会費用は、任意に高くなる。
もし現実の残高が本質的であれば（効用は$\dfrac{M}{P} \rightarrow 0$のとき$-\infty$へ向かう）、これら破裂的な経路は実行可能な均衡である。
もしそうでないとすれば、現実の残高がゼロになる利子率の上限が存在するかもしれない。
有限の時間で現実の残高がゼロへと収縮する経路もまた、実行可能な均衡である。
ここで再び、これら不安定な経路を排除する、極めて高いインフレ率における政策変更を仮定することが可能であり、一方で、定常的な$\dot{p} = 0$の均衡を実行可能なものとする。
Conchraneは、低いあるいは高いインフレ率におけるこれら仮説的な政策変更を発見したが、信じがたいことに、その後決して均衡状態においては観察されていない。
しかし、Leeperがしたように、政府予算制約と財政政策を加えると仮定せよ。
実質債務（実質債務の対数ではない）を$b$、プライマリーバランスの黒字を$\tau$とすると、予算制約は、
\[
\dot{b} = (r - \dot{p})b - \tau \quad\cdots\cdots(25)
\]
となる。
Leeperが受動的財政政策と呼ぶ型式では、
\[
\tau = -\phi_0 + \phi_1 b \quad\cdots\cdots(26)
\]
である。
完全予測経路に沿えば、$r = \rho + \dot{p}$であり、これは、
\[
\dot{b} = \rho b + \phi_0 - \phi_1 b \quad\cdots\cdots(27)
\]
となる。
$\phi_1 > \rho$であれば、これは$b$についての安定的な方程式である。
$p$についての均衡の時経路がどうであれ、実質債務は$\dfrac{\phi_0}{(\phi_1 - \rho)}$へと収束する。
ゆえにこの方程式は、物価決定には何の役割も果たすことなく、よって不確定性を解決することはできない。
しかし、もし仮に(26)の右辺に、インフレに対するプライマリーバランスの黒字の正の反応を加えると、すなわち、(26)を
\[
\tau = -\phi_0 + \phi_1 b + \phi_2 \pi ? \quad\cdots\cdots(28)
\]
で置き換えると、(27)は、
\[
\dot{b} = (\rho - \phi_1)b + \phi_0 - \phi_2 \pi \quad\cdots\cdots(29)
\]
となる。
(21)、(22)そして(29)によって形成された、3方程式の微分方程式システムは、$b$が最後の方程式にしか現れないことによって、再帰的である。
それは、最初の2方程式のみを考えながら考察した、$\pi$を上方あるいは下方へ破裂させる解の経路は、いまだ3方程式システムに対する数学的な解の経路であることを意味する。
しかし今、$\dot{p} \rightarrow \infty$の経路に沿って$b$に何が生じるかに注意せよ。
債務方程式(29)により、そのような経路では、$\dot{b}$は結局は負になり、時間とともに負の値が増大する。
これは、有限の時間内で、$b$がゼロへ向かうことを意味する。
経済における民間エージェントの観点から言えば、政府から借り入れることができないと仮定するので、これは、将来の納税義務が政府債務の形式の富を超過し、よって、収入及び保有する富を伴って計画された消費をファイナンスすることができないことを意味する。
それゆえ彼らは、消費を減らして貯蓄に努めることになるだろう。
もし彼らが真に完全な予測を有すれば、これは瞬時に、初期日$t = 0$において、$p_0$を安定と一致する水準に引き戻すだろう。
もしエージェントがどのような経路上にいるのか気付くのにいくらか時間がかかるとすると、調整に遅延が生じ、安定的な解へ向かう同じ復帰がいまだなされることになる。
デフレを加速させる不安定な経路もまた除外され得る。
そのような経路上では、実質債務は際限なく上昇し、一方で、プライマリーバランスの黒字は収縮し、やがて負になる。
今や人々は、将来の納税義務の増加による相殺なく、政府債務の形式の富が際限なく成長することを理解するだろう。
ゆえに彼らは支出し、価格は上昇し、経済は安定的な経路へ復帰するだろう。
これら議論は、$\phi_2$が正である限り、その大きさに依存しない。
均衡状態において、$\pi$はゼロになるか、あるいは（もし人々が不完全にしか予測できないか、あるいはシステムにランダムなかく乱を加えれば）狭い範囲内で変動するだろう。
もし$\phi_2$が十分に小さければ、その存在をデータから検出するのは難しいかもしれない。
いずれの場合においても、経済の均衡としての不安定な解を除外することを除いて、その存在が、システムの最初の2方程式、あるいは物価と利子率の均衡の時経路に影響を及ぼすことはないだろう。
・『紙幣』に戻る。
CHRISTOPHER A. SIMS
http://sims.princeton.edu/yftp/PaperMoney/PaperMoneyAER.pdf
下記の文章は、上記のクリストファー・シムズ氏の論文『紙幣』の「3-2 テイラー・ルールのための財政的裏付け。」の原文を、英語から日本語に翻訳したものです。
下記の文章を、原文のライセンス（クリエイティブ・コモンズ 表示-継承 3.0 非移植）に従い、同様のライセンス（クリエイティブ・コモンズ 表示-継承 3.0 非移植）により公開します。
I translated PAPER MONEY, CHRISTOPHER A. SIMS, III.2. Fiscal backup for a Taylor rule. into Japanese.
This document is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Unported License.
3-2 テイラー・ルールのための財政的裏付け。
Cochrane (2007)は、テーラー・ルールによる金融政策を有するモデルにおける確定的物価水準を主張する試みに対して、均衡経路へ導くためにのみなされる「財政支援」を主張することにより反論した。彼の論拠については分からない。
しかし、いずれにしてもこの節における単純なモデルは、無視できるほど小さい規模ではあるが、たとえ均衡状態であろうと常になされる財政支援を主張することにより、テイラー・ルールによる物価水準の一意性を証明し得ることを示している。
その均衡は、財政支援なしのモデルのそれへと、任意に近接する。
このモデル及び先行モデルにおいて、安定的物価のためには財政支援の存在が重要であるが、その支援を市場が感知する場合には、均衡における支援の規模は極めて小さくなることを結論する。
財政支援はどこでなされるのか、あるいはそれが存在するかどうかさえ不確かである、EMUのような制度は不安定化している；平時においては、均衡状態で大規模な財政支援による介入はなされないので、財政支援の重要性は見失われやすい。
モデルは非常に単純であり、連続的に時間が延長される、Leeper (1991)による独自の枠組みである。
金融政策のルールは、
\[
\dot{r} = \gamma (\theta \dot{p} - (r - p)) \quad\cdots\cdots(21)
\]
である。
名目利子率$r$は遅延（より大きな$\gamma$は、より少ない遅延を意味する）を伴って、インフレ$\dot{p}$に反応する。
インフレに対して金利を最終的には、1に対して1以上反応させる「テイラー原則」は、ここでは$\theta > 1$に相当する。
一定の実質レート$\rho$と、$\rho$と名目レートを連結するリスク選好型フィッシャー方程式を仮定すれば、
\[
r = \rho + \widehat{\dot{p}} \quad\cdots\cdots(22)
\]
である。
$\widehat{\dot{p}}$の記号は、物価の対数の予測される経路についての時間微分である。
完全予測解の経路上、初期日以降の全日付で$\widehat{\dot{p}} = \dot{p}$であるが、$p$は初期日においては不連続に動き得る。
これら2つの方程式(21)と(22)は、$p$についての2階微分方程式を導出して解くことができる：
\[
\ddot{p} = \gamma (\theta - 1) \dot{p} \quad\cdots\cdots(23)
\]
初期日$t = 0$後、あらゆる完全予測均衡経路を保持する。
$\theta > 1$では、不安定な微分方程式であり、解は$\dot{p}_t = \dot{p_0} e^{\gamma (\theta -1)}$の形式である。
Leeperは、そのような破裂的な物価経路は均衡経路ではないと仮定し、方程式に対する一つの安定的な解、$\dot{p} \equiv 0$に焦点を合わせた。
(22)より、そのような経路の一つとして、$r = \rho$である。
(21)より、これはまた、$\dot{r} = 0$を含意する。
政策方程式(21)は、現在の（期待的なものではない）導関数を制御するので、$r - \gamma^{\theta}p$の時経路が、初期日$t = 0$においてさえも、微分可能であることを含意する。
しかし、このことは、$\Delta r = \gamma^{\theta}\Delta p$を満たす限りにおいて、$p$と$r$の両方共に、$t = 0$において不連続にジャンプすることをも可能とする。
このことが初期物価を確定的にする。
時間ゼロにおけるこれら変数（すなわち、ジャンプ前の値）の左限を示すため$\bar{r_0}, \; \bar{p_0}$を使用して、
\[
\Delta r_0 = \rho - \bar{r_0} = \gamma^{\theta}(p_0 - \bar{p_0}) = \gamma^{\theta}\Delta p_0 \quad\cdots\cdots(24)
\]
となる。
この方程式は、$\rho$、$\bar{r_0}$そして$\bar{p_0}$の関数として、$p_0$（時間0における物価の対数の右限）という一意の値として解くことができる。
もし初期物価がこれを下回れば、$r$よって$\widehat{\dot{p}}$もまたより低くなるであろうし、それはインフレが指数関数的に$-\infty$へ向かうことを意味する。
政策ルール(21)はそのような経路上で維持することは不可能であり、それは$r$が負の値になることを要する。
そのような経路を除外する財政政策を有して、極めて低いインフレ率においては、ルールが変更されると仮定するのは当然のことである。
初期物価とインフレ率が定常状態の域を上回れば、インフレ率は指数関数的に上昇する。
無利子である貨幣残高を保有する機会費用は、任意に高くなる。
もし現実の残高が本質的であれば（効用は$\dfrac{M}{P} \rightarrow 0$のとき$-\infty$へ向かう）、これら破裂的な経路は実行可能な均衡である。
もしそうでないとすれば、現実の残高がゼロになる利子率の上限が存在するかもしれない。
有限の時間で現実の残高がゼロへと収縮する経路もまた、実行可能な均衡である。
ここで再び、これら不安定な経路を排除する、極めて高いインフレ率における政策変更を仮定することが可能であり、一方で、定常的な$\dot{p} = 0$の均衡を実行可能なものとする。
Conchraneは、低いあるいは高いインフレ率におけるこれら仮説的な政策変更を発見したが、信じがたいことに、その後決して均衡状態においては観察されていない。
しかし、Leeperがしたように、政府予算制約と財政政策を加えると仮定せよ。
実質債務（実質債務の対数ではない）を$b$、プライマリーバランスの黒字を$\tau$とすると、予算制約は、
\[
\dot{b} = (r - \dot{p})b - \tau \quad\cdots\cdots(25)
\]
となる。
Leeperが受動的財政政策と呼ぶ型式では、
\[
\tau = -\phi_0 + \phi_1 b \quad\cdots\cdots(26)
\]
である。
完全予測経路に沿えば、$r = \rho + \dot{p}$であり、これは、
\[
\dot{b} = \rho b + \phi_0 - \phi_1 b \quad\cdots\cdots(27)
\]
となる。
$\phi_1 > \rho$であれば、これは$b$についての安定的な方程式である。
$p$についての均衡の時経路がどうであれ、実質債務は$\dfrac{\phi_0}{(\phi_1 - \rho)}$へと収束する。
ゆえにこの方程式は、物価決定には何の役割も果たすことなく、よって不確定性を解決することはできない。
しかし、もし仮に(26)の右辺に、インフレに対するプライマリーバランスの黒字の正の反応を加えると、すなわち、(26)を
\[
\tau = -\phi_0 + \phi_1 b + \phi_2 \pi ? \quad\cdots\cdots(28)
\]
で置き換えると、(27)は、
\[
\dot{b} = (\rho - \phi_1)b + \phi_0 - \phi_2 \pi \quad\cdots\cdots(29)
\]
となる。
(21)、(22)そして(29)によって形成された、3方程式の微分方程式システムは、$b$が最後の方程式にしか現れないことによって、再帰的である。
それは、最初の2方程式のみを考えながら考察した、$\pi$を上方あるいは下方へ破裂させる解の経路は、いまだ3方程式システムに対する数学的な解の経路であることを意味する。
しかし今、$\dot{p} \rightarrow \infty$の経路に沿って$b$に何が生じるかに注意せよ。
債務方程式(29)により、そのような経路では、$\dot{b}$は結局は負になり、時間とともに負の値が増大する。
これは、有限の時間内で、$b$がゼロへ向かうことを意味する。
経済における民間エージェントの観点から言えば、政府から借り入れることができないと仮定するので、これは、将来の納税義務が政府債務の形式の富を超過し、よって、収入及び保有する富を伴って計画された消費をファイナンスすることができないことを意味する。
それゆえ彼らは、消費を減らして貯蓄に努めることになるだろう。
もし彼らが真に完全な予測を有すれば、これは瞬時に、初期日$t = 0$において、$p_0$を安定と一致する水準に引き戻すだろう。
もしエージェントがどのような経路上にいるのか気付くのにいくらか時間がかかるとすると、調整に遅延が生じ、安定的な解へ向かう同じ復帰がいまだなされることになる。
デフレを加速させる不安定な経路もまた除外され得る。
そのような経路上では、実質債務は際限なく上昇し、一方で、プライマリーバランスの黒字は収縮し、やがて負になる。
今や人々は、将来の納税義務の増加による相殺なく、政府債務の形式の富が際限なく成長することを理解するだろう。
ゆえに彼らは支出し、価格は上昇し、経済は安定的な経路へ復帰するだろう。
これら議論は、$\phi_2$が正である限り、その大きさに依存しない。
均衡状態において、$\pi$はゼロになるか、あるいは（もし人々が不完全にしか予測できないか、あるいはシステムにランダムなかく乱を加えれば）狭い範囲内で変動するだろう。
もし$\phi_2$が十分に小さければ、その存在をデータから検出するのは難しいかもしれない。
いずれの場合においても、経済の均衡としての不安定な解を除外することを除いて、その存在が、システムの最初の2方程式、あるいは物価と利子率の均衡の時経路に影響を及ぼすことはないだろう。
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