楕円曲線と高校数学。
１ 楕円曲線
楕円曲線には興味深い性質がたくさんあって、数学における重要な研究対象になっているらしい。
・「楕円曲線って何ですか？」という質問に対して、定義を答えて返すのはきっと何の意味もない（tsujimotterの下書きノート）
$y^2 = x^3 + ax + b$という式を見ただけでは、その重要性を理解するのは難しいけれど、高校数学レベルの知識でちょっと考えてみようかと思う。
・「楕円曲線って何ですか？」という質問に対して、定義を答えて返すのはきっと何の意味もない（tsujimotterの下書きノート）
$y^2 = x^3 + ax + b$という式を見ただけでは、その重要性を理解するのは難しいけれど、高校数学レベルの知識でちょっと考えてみようかと思う。
２ 名前の由来
楕円曲線は楕円と直接関係がないけれど、歴史的経緯から名前に楕円という言葉が付いたらしい。
楕円の周の長さを求める積分や、それに関する種々の積分計算を楕円積分という。
その楕円積分の逆関数が楕円関数であり、楕円関数の一種であるヴァイエルシュトラスのペー関数を簡単な式にしたものが$y^2 = x^3 + ax + b$である。
３ 楕円の周の長さ
楕円の周の長さは高校数学で計算できる。
・楕円の周の長さの求め方と近似公式（高校数学の美しい物語）
楕円$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$の周の長さを$L、x = a\cosθ, y = b\sinθ$とおくと、
・楕円の周の長さの求め方と近似公式（高校数学の美しい物語）
楕円$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$の周の長さを$L、x = a\cosθ, y = b\sinθ$とおくと、
$L = 4 \displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sqrt{(-a\sin \theta)^2 + (b\cos \theta)^2} \; d\theta$
$= 4a \displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sqrt{\sin^2 \theta + \dfrac{b^2}{a^2}\cos^2 \theta} \; d\theta$
この式をもう少し変形すると第二種完全楕円積分が得られる。
ちなみに、ヨビノリさんの単振り子の周期（厳密解）についての動画で、第一種完全楕円積分が説明されています。
４ 高校数学で楕円曲線
楕円曲線を理解するには大学数学レベルの数学力が必要だけれど、高校数学レベルでも「楕円曲線の様子をいくらか記述することが可能」らしい。
そこで、$y^2 = x^3 + ax + b$という式をGRAPESで描画して遊んでみました。
ここからさらに分け入って、大学レベルの代数学、代数幾何学、そして数論幾何学の分野に進んでいくのはかなりハードだなぁ・・・