簡単な斜交座標で考えてみるの巻き。
１ 斜交座標系
前回の記事でいろいろな座標を概観した。
今回は、簡単な斜交座標を使って勉強してみたい。
たとえば$y$軸を45度傾けて作った斜交座標を考える。
２ 座標変換
斜交座標$(x, y)$と直交座標$(x', y')$の関係は次のようになる。
$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 0 & \cos \dfrac{\pi}{4}\\ \sin 0 & \sin \dfrac{\pi}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + \dfrac{y}{\sqrt{2}}\\ \dfrac{y}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$
３ 内積
斜交座標系における2つのベクトル$\vec{u} = (u_x, u_y), \vec{v} = (v_x, v_y)$を考える。
その直交座標をそれぞれ$(u'_x, u'_y), (v'_x, v'_y)$とすると、
$(u'_x, u'_y) = \left( u_x + \dfrac{u_y}{\sqrt{2}}, \dfrac{u_y}{\sqrt{2}} \right),$
$(v'_x, v'_y) = \left( v_x + \dfrac{v_y}{\sqrt{2}}, \dfrac{v_y}{\sqrt{2}} \right)$
よって、$\vec{u}$と$\vec{v}$の内積は、
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \left( u_x + \dfrac{u_y}{\sqrt{2}} \right) \left( v_x + \dfrac{v_y}{\sqrt{2}} \right) + \dfrac{u_y}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{v_y}{\sqrt{2}} = u_x v_x + \dfrac{u_x v_y + u_y v_x}{\sqrt{2}} + u_y v_y = \begin{pmatrix} u_x & u_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix}$
４ 反変成分と共変成分
次のように定義してしまう。
$(u^1, u^2) := (u_x, u_y),$
$(v_1, v_2) := \left( v_x + \dfrac{v_y}{\sqrt{2}}, \dfrac{v_x}{\sqrt{2}} + v_y \right)$
そうすると、$\vec{u} \cdot \vec{v} = u^1 v_1 + u^2 v_2$と書けてしまう。
一般的に、添え字が上についている方を反変成分、下についている方を共変成分と呼ぶ。
共変基底ベクトルを$\vec{e}_1, \vec{e}_2$とすると、反変成分を用いて、$\vec{u} = u^1 \vec{e}_1 + u^2 \vec{e}_2$
反変基底ベクトルを$\vec{e}^1, \vec{e}^2$とすると、共変成分を用いて、$\vec{v} = v_1 \vec{e}^1 + u_2 \vec{e}^2$
上記の議論は$\vec{u}, \vec{v}$を入れ替えても成立する。
５ 計量テンソル
上記の$\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 1 \end{pmatrix} $が計量テンソルと呼ばれる。
計量テンソルは、共変・反変基底ベクトルで表される。
$g_{ij} = \begin{pmatrix} \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 & \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 \\ \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_1 & \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 1 \\ \end{pmatrix},$
$g^{ij} = \begin{pmatrix} \vec{e}^1 \cdot \vec{e}^1 & \vec{e}^1 \cdot \vec{e}^2 \\ \vec{e}^2 \cdot \vec{e}^1 & \vec{e}^2 \cdot \vec{e}^2 \\ \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & 1 \\ \end{pmatrix} = (g_{ij})^{-1}$
また、反変成分と共変成分の変換は、$u_i = g_{ij}u^j, u^i = g^{ij} u_j$
ちなみに、クロネッカーのデルタを用いて、$\vec{e}^i \cdot \vec{e}_j = \delta_{j}^{i}$
・テンソルとは何か。：https://tanakah17191928.blogspot.com/2023/03/blog-post_31.html
・計量とは何か（EMANの物理学）