円周率をExcelで計算してみた。
１ 円周率
図書館で借りてきた本を読んだり、YouTubeの数学系チャンネルの動画を見ていたら、円周率を自分なりに計算してみたくなった。
２ 円に内接・外接する正多角形
古来より用いられてきた方法により、改めて考えてみる。
今でも高校数学までの範囲で円周率を考察する際に、よく使われる方法である。
円に内接あるいは外接する正$n$角形を考え、この$n$をどんどん大きくする方法である。
３ 円に内接・外接する正$n$角形の周の長さ
（１）円に内接する正$n$角形の周の長さ
円の半径を$r$とすると、円に内接する正$n$角形の一辺の長さは、
$r \times \sin \left( \dfrac{360^{\circ}}{n} \times \dfrac{1}{2} \right) \times 2 = 2r\sin \dfrac{180^{\circ}}{n}$
よって、円に内接する正$n$角形の周の長さは、
$2r\sin \dfrac{180^{\circ}}{n} \times n = 2rn\sin \dfrac{180^{\circ}}{n}$
（２）円に外接する正$n$角形の周の長さ
円の半径を$r$とすると、円に外接する正$n$角形の一辺の長さは、
$r \times \tan \left( \dfrac{360^{\circ}}{n} \times \dfrac{1}{2} \right) \times 2 = 2r\tan \dfrac{180^{\circ}}{n}$
よって、円に外接する正$n$角形の周の長さは、
$2r\tan \dfrac{180^{\circ}}{n} \times n = 2rn\tan \dfrac{180^{\circ}}{n}$
（３）円周率$\pi$
$2rn\sin \dfrac{180^{\circ}}{n} < 2\pi r < 2rn\tan \dfrac{180^{\circ}}{n}$
よって、$n\sin \dfrac{180^{\circ}}{n} < \pi < n\tan \dfrac{180^{\circ}}{n}$
Excelで計算すると、次のようになる。
４ 円に内接・外接する正$n$角形の面積
（１）円に内接する正$n$角形の面積
円の半径を$r$とすると、円に内接する正$n$角形の面積は、
$\dfrac{1}{2}r^2 \sin \dfrac{360^{\circ}}{n} \times n = \dfrac{r^2 n}{2} \sin \dfrac{360^{\circ}}{n}$
（２）円に外接する正$n$角形の面積
円の半径を$r$とすると、円に外接する正$n$角形の面積は、
$\dfrac{1}{2} \times 2r\tan \dfrac{180^{\circ}}{n} \times r \times n = r^2 n\tan \dfrac{180^{\circ}}{n}$
（３）円周率$\pi$
$\dfrac{r^2 n}{2} \sin \dfrac{360^{\circ}}{n} < \pi r^2 < r^2 n\tan \dfrac{180^{\circ}}{n}$
よって、$\dfrac{n}{2} \sin \dfrac{360^{\circ}}{n} < \pi < n\tan \dfrac{180^{\circ}}{n}$
Excelで計算すると、次のようになる。
