R６年度第１回高認数学問５解説
問５
（１）【文章題（三角比）】
$\mathrm{AB} = 20 \times \tan 53^{\circ}$（２）【$90^{\circ} − \theta$の三角比】
$\sin 53^{\circ} = \cos (90^{\circ} − 53^{\circ}) = \cos 37^{\circ}$（３）【$\sin 90^{\circ} = 1$】
$\sin 90^{\circ} = 1$（４）【余弦定理】
$\mathrm{BC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 − 2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \cos \angle\mathrm{A}$$= 4^2 + (\sqrt{2})^2 − 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos 45^{\circ} = 16 + 2 - 8\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$= 18 - 8 = 10$
$\mathrm{BC} > 0$なので$\mathrm{BC} = \sqrt{10}$
よって、BCの長さは$\mathrm{10}$cmである。
（５）【正弦定理】
$\dfrac{\mathrm{AC}}{\sin B} = \dfrac{\mathrm{AB}}{\sin C}$$\mathrm{AC} = \dfrac{\mathrm{AB}}{\sin C} \times \sin B$
$= \mathrm{AB} \div \sin C \times \sin B$
$= 4 \div \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} = 4 \times \dfrac{3}{1} \times \dfrac{2}{3} = 8$
よって、ACの長さは8cmである。
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