R６年度第１回高認数学問５解説

問５

（１）【文章題（三角比）】

$\mathrm{AB} = 20 \times \tan 53^{\circ}$

（２）【$90^{\circ} − \theta$の三角比】

$\sin 53^{\circ} = \cos (90^{\circ} − 53^{\circ}) = \cos 37^{\circ}$

（３）【$\sin 90^{\circ} = 1$】

$\sin 90^{\circ} = 1$

（４）【余弦定理】

$\mathrm{BC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 − 2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \cos \angle\mathrm{A}$

$= 4^2 + (\sqrt{2})^2 − 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos 45^{\circ} = 16 + 2 - 8\sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$= 18 - 8 = 10$

$\mathrm{BC} > 0$なので$\mathrm{BC} = \sqrt{10}$

よって、BCの長さは$\mathrm{10}$cmである。

（５）【正弦定理】

$\dfrac{\mathrm{AC}}{\sin B} = \dfrac{\mathrm{AB}}{\sin C}$

$\mathrm{AC} = \dfrac{\mathrm{AB}}{\sin C} \times \sin B$

$= \mathrm{AB} \div \sin C \times \sin B$

$= 4 \div \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} = 4 \times \dfrac{3}{1} \times \dfrac{2}{3} = 8$

よって、ACの長さは8cmである。

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