R６年度第１回高認数学問４解説

問４

（１）【二次関数の最大値】

　$y = (x − 1)^2 + kのグラフは上に凸で、頂点の座標は$(1, k)である。
軸が$x = 1$で、$x$の変域が$-2 \leq x \leq 2$なので

$x = -2$のとき最大値をとる。

$y = (-2 − 1)^2 + k = (-3)^2 + k = 9 + k$

$9 + k = 7$

$k = 7 - 9 = -2$

（２）【二次関数のグラフとx軸との共有点（二次方程式）】

　$3x^2 + 7x - 6 = 0$を二次方程式の解の公式で解くと

$x = \dfrac{−7 \pm \sqrt{7^2 − 4 \cdot 3 \cdot (-6)}}{2 \cdot 3}$

$= \dfrac{-7 \pm \sqrt{49 + 72}}{6} = \dfrac{-7 \pm \sqrt{121}}{6}$

$= \dfrac{-7 \pm 11}{6} = \dfrac{4}{6}, \dfrac{-18}{6} = \dfrac{2}{3}, -3$

よって、$y = 3x^2 + 7x - 6$のグラフと$x$軸との共有点の座標は、$\left(\dfrac{2}{3}, 0\right), (-3, 0)$である。

　ちなみに、$3x^2 + 7x - 6 = 0$を因数分解で解くと

$(3x − 2)(x + 3) = 0$

よって、$x = \dfrac{2}{3}, -3$

（３）【二次不等式】

　$y = (x - 1)(x + 5)$のグラフは

よって、$(x - 1)(x + 5) < 0$の解は

$-5 < x < 1$（③）

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