係数が複素数の二次方程式と複素数平面上の複素数解。
１ 係数が複素数の二次方程式と複素数解
前回までに、係数が複素数の二次方程式、二次方程式と複素数解の関係について考えてみた。・二次方程式の係数が複素数の場合。：https://tanakah17191928.blogspot.com/2022/08/blog-post_21.html
・二次方程式と複素数解。：https://tanakah17191928.blogspot.com/2022/08/blog-post_22.html
今回は、係数が複素数の二次方程式と複素数解の関係を考えてみることにした。
以下、$a, b, c, d, e, f, x, y$は実数、$z, \alpha, \beta$は複素数とする。
$(a + bi)(x + yi)^2 + (c + di)(x + yi) + (e + fi) = 0$
$(a + bi)(x^2 + 2xyi - y^2) + (cx + cyi + dxi - dy) + e + fi = 0$
$ax^2 + 2axyi - ay^2 + bx^2 i - 2bxy - by^2 i + cx + cyi + dxi - dy + e + fi = 0$
$(ax^2 - ay^2 - 2bxy + cx - dy + e) + (bx^2 - by^2 + 2axy + dx + cy + f)i = 0$
（$y = 0$の場合に$(ax^2 + cx + e) + (bx^2 + dx + f)i = 0$となる。）
２ 複素数平面
定義域を複素数平面$x+yi$、値域を二次関数の絶対値$|z|$として三次元のグラフが描けそうである。$|z| = |(ax^2 - ay^2 - 2bxy + cx - dy + e) + (bx^2 - by^2 + 2axy + dx + cy + f)i|$
$= \sqrt{(ax^2 - ay^2 - 2bxy + cx - dy + e)^2 + (bx^2 - by^2 + 2axy + dx + cy + f)^2}$
３ 適当な具体例
$a = 1, b = 1, c = 3, d = 5, e = 2, f = 4$のとき$z = (1 + i)(x + yi)^2 + (3 + 5i)(x + yi) + (2 + 4i)$
$= (x^2 - y^2 - 2xy + 3x - 5y + 2) + (x^2 - y^2 + 2xy + 5x + 3y + 4)i$
（$y = 0$の場合に$z = (x^2 + 3x + 2) + (x^2 + 5x + 4)i$となる。）
$|z| = \sqrt{(x^2 - y^2 - 2xy + 3x - 5y + 2)^2 + (x^2 - y^2 + 2xy + 5x + 3y + 4)^2}$
$= \sqrt{2x^4 + 16x^3 + 46x^2 + 52x + 20}$となる。）
４ 方程式を解いてみる
$z = (1 + i)(x + yi)^2 + (3 + 5i)(x + yi) + (2 + 4i)$
$= (x^2 - y^2 - 2xy + 3x - 5y + 2) + (x^2 - y^2 + 2xy + 5x + 3y + 4)i$
$y = 0$のとき$z = (x^2 + 3x + 2) + (x^2 + 5x + 4)i$
$x^2 + 3x + 2 = 0, x^2 + 5x + 4 = 0$
$(x + 1)(x + 2) = 0, (x + 1)(x + 4) = 0$
よって、解の一つは実数解$-1$
二つの複素数解を$\alpha, \beta$とおき、$\alpha = -1$とする。
解と係数の関係より
$\alpha + \beta = -\dfrac{3 + 5i}{1 + i}, \alpha\beta = \dfrac{2 + 4i}{1 + i}$
$-1 + \beta = -\dfrac{3 + 5i}{1 + i}, -\beta = \dfrac{2 + 4i}{1 + i}$
$\beta = -\dfrac{3 + 5i}{1 + i} + 1 = \dfrac{-3 - 5i + (1 + i)}{1 + i}$
$= \dfrac{(-2 -4i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \dfrac{-2 + 2i - 4i + 4i^2}{1 - i^2}$
$= \dfrac{-6 - 2i}{2} = -3 - i$
よって、$\alpha = -1 \; (x = -1, y = 0), \beta = -3 - i \; (x = -3, y = -1)$