二次方程式と複素数解。
1 虚数解
以前、二次方程式の係数が複素数の場合について考えた。・二次方程式の係数が複素数の場合。:https://tanakah17191928.blogspot.com/2022/08/blog-post_21.html
よく考えてみると、係数が実数でも解が虚数解になる場合があり、高校数学で学習する。
虚数解になる場合は、$y = ax^2 + bx + c$が$x$軸と共有点を持たない。
・二次方程式の解(二次関数のグラフとx軸との位置関係)(オンライン補習塾 from 東三河)
2 複素数平面
虚数解を考えてもよいのであれば、定義域を複素数平面$x + yi$、値域を二次関数の絶対値$|z|$として三次元のグラフが描けそうである。
以下、$x, y$は実数、$z$は複素数とする。
$|z| = |a(x + yi)^2 + b(x + yi) + c|$
$= |a(x^2 + 2xyi + y^2i^2) + bx + byi + c|$
$= |(ax^2 - ay^2 + bx + c) + (2axy + by)i|$
$= \sqrt{(ax^2 - ay^2 + bx + c)^2 + (2axy + by)^2}$
$y = 0$の場合は$z$が実数になるので、$xz$平面上の$z = ax^2 + bx + c$という元の二次関数のグラフを描くこともできる。
・二次方程式と複素数(複素数平面と二次関数の絶対値のグラフ)(オンライン補習塾 from 東三河)
以下、$x, y$は実数、$z$は複素数とする。
$|z| = |a(x + yi)^2 + b(x + yi) + c|$
$= |a(x^2 + 2xyi + y^2i^2) + bx + byi + c|$
$= |(ax^2 - ay^2 + bx + c) + (2axy + by)i|$
$= \sqrt{(ax^2 - ay^2 + bx + c)^2 + (2axy + by)^2}$
$y = 0$の場合は$z$が実数になるので、$xz$平面上の$z = ax^2 + bx + c$という元の二次関数のグラフを描くこともできる。
3 適当な具体例
3D-GRAPESで描画してみました。・二次方程式と複素数(複素数平面と二次関数の絶対値のグラフ)(オンライン補習塾 from 東三河)
$a = 1, b = -4$のとき
$|z| = |(x + yi)^2 - 4(x + yi) + c|$
$= |(x^2 + 2xyi + y^2i^2) - 4x - 4yi + c|$
$= |(x^2 - y^2 - 4x + c) + (2xy - 4y)i|$
(実線:$z = x^2 - 4x + c$)
$c$の値を変動させて観察・・・想像したのとちょっと違うグラフだった(´・ω・`)
・複素数と二次方程式・二次関数(まとめ記事)に戻る。
$|z| = |(x + yi)^2 - 4(x + yi) + c|$
$= |(x^2 + 2xyi + y^2i^2) - 4x - 4yi + c|$
$= |(x^2 - y^2 - 4x + c) + (2xy - 4y)i|$
$= \sqrt{(x^2 - y^2 - 4x + c)^2 + (2xy - 4y)^2}$
$c$の値を変動させて観察・・・想像したのとちょっと違うグラフだった(´・ω・`)
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