バケツの水は何リットル?
1 水面の高さからその容積を求める(積分)
下図のバケツに高さ$h$cmまで水を入れると何リットルになるか。バケツ底面の直径は$a$cm。
上面の直径は$b$cm。
バケツ自体の高さは$c$cm。
バケツに張った水の高さを$h$cmとおくと、その水面の面積は
$\pi \cdot \left\{ \dfrac{a + (b - a) \times \dfrac{h}{c}}{2} \right\}^2 = \pi \left\{ \dfrac{a + \dfrac{(b - a)h}{c}}{2} \right\}^2 = \pi \left\{ \dfrac{a}{2} + \dfrac{(b - a)h}{2c} \right\}^2$
$= \pi \left\{ \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a(b - a)}{2c}h + \dfrac{(b - a)^2}{4c^2}h^2 \right\} = \pi \left\{ \dfrac{(b - a)^2}{4c^2}h^2 + \dfrac{a(b - a)}{2c}h + \dfrac{a^2}{4} \right\}$
$= \dfrac{\pi (b - a)^2}{4c^2}h^2 + \dfrac{\pi a(b - a)}{2c}h + \dfrac{\pi a^2}{4}$
積分して容積を求めると
$V = \displaystyle\int^{h}_{0} \left\{ \dfrac{\pi (b - a)^2}{4c^2}h^2 + \dfrac{\pi a(b - a)}{2c}h + \dfrac{\pi a^2}{4} \right\} dh$
$= \left[ \dfrac{\pi (b - a)^2}{12c^2}h^3 + \dfrac{\pi a(b - a)}{4c}h^2 + \dfrac{\pi a^2}{4}h \right]_0^h$
$= \dfrac{\pi (b - a)^2}{12c^2}h^3 + \dfrac{\pi a(b - a)}{4c}h^2 + \dfrac{\pi a^2}{4}h \; (\mathrm{cm}^3)$
1リットルは$1000\mathrm{cm}^3$なので、これを1000で割ればリットルになる。
2 容積からその水面の高さを求める(三次方程式:カルダノの公式)
(1)立方完成
$V = \dfrac{\pi (b - a)^2}{12c^2}h^3 + \dfrac{\pi a(b - a)}{4c}h^2 + \dfrac{\pi a^2}{4}h$$\dfrac{\pi (b - a)^2}{12c^2}h^3 + \dfrac{\pi a(b - a)}{4c}h^2 + \dfrac{\pi a^2}{4}h - V = 0$
$h^3 + \dfrac{\pi a(b - a) \times 12c^2}{4c \times \pi (b - a)^2}h^2 + \dfrac{\pi a^2 \times 12c^2}{4 \times \pi (b - a)^2}h - \dfrac{V \times 12c^2}{\pi (b - a)^2} = 0$
$h^3 + \dfrac{12\pi a(b - a)c^2}{4\pi (b - a)^2 c}h^2 + \dfrac{12\pi a^2 c^2}{4\pi (b - a)^2}h - \dfrac{12c^2 V}{\pi (b - a)^2} = 0$
$h^3 + \dfrac{3ac}{b - a}h^2 + \dfrac{3a^2 c^2}{(b - a)^2}h - \dfrac{12c^2 V}{\pi (b - a)^2} = 0$
ここで$A = \dfrac{3ac}{b - a}, B = \dfrac{3a^2 c^2}{(b - a)^2}, C = -\dfrac{12c^2 V}{\pi (b - a)^2}$とおくと
$h^3 + Ah^2 + Bh + C = 0$
$\left( h + \dfrac{A}{3} \right)^3 - 3h \cdot \dfrac{A^2}{3^2} - \dfrac{A^3}{3^3} + Bh + C = 0$
$\left( h + \dfrac{A}{3} \right)^3 + Bh - \dfrac{A^2}{3}h + C - \dfrac{A^3}{27} = 0$
$\left( h + \dfrac{A}{3} \right)^3 + \left( B - \dfrac{A^2}{3} \right) h + C - \dfrac{A^3}{27} = 0$
$\left( h + \dfrac{A}{3} \right)^3 + \left( B - \dfrac{A^2}{3} \right) \left( h + \dfrac{A}{3} \right) - \left( B - \dfrac{A^2}{3} \right) \cdot \dfrac{A}{3} + C - \dfrac{A^3}{27} = 0$
$\left( h + \dfrac{A}{3} \right)^3 + \left( B - \dfrac{A^2}{3} \right) \left( h + \dfrac{A}{3} \right) - \dfrac{AB}{3} + \dfrac{A^3}{9} + C - \dfrac{A^3}{27} = 0$
$\left( h + \dfrac{A}{3} \right)^3 + \left( B - \dfrac{A^2}{3} \right) \left( h + \dfrac{A}{3} \right) + C - \dfrac{AB}{3} + \dfrac{2A^3}{27} = 0$
$H = h + \dfrac{A}{3}$とおくと
$H^3 + \left( B - \dfrac{A^2}{3} \right) H + C - \dfrac{AB}{3} + \dfrac{2A^3}{27} = 0$
(2)$H^3 + pH + q = 0$を解く
$p = B - \dfrac{A^2}{3}, q = C - \dfrac{AB}{3} + \dfrac{2A^3}{27}$とおくと$H^3 + pH + q = 0$
ここで$H = u + v$とおくと
$u^3 + v^3 + q + (3uv + p)(u + v) = 0$
$\left\{
\begin{array}{l}
u^3 + v^3 + q = 0 \\
3uv + p = 0
\end{array}
\right.$
$\left\{
\begin{array}{l}
u^3 + v^3 = -q \\
u^3 v^3 = -\left( \dfrac{p}{3} \right)^3
\end{array}
\right.$
$u^3, v^3$を解とする二次方程式$t^2 + qt - \left( \dfrac{p}{3} \right)^3 = 0$を解くと
$u^3, v^3 = \dfrac{-q \pm \sqrt{q^2 + 4 \cdot \left( \dfrac{p}{3} \right)^3}}{2} = -\dfrac{q}{2} \pm \sqrt{\left( \dfrac{q}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{p}{3} \right)^3}$
$H$は実数なので
$H = \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} + \sqrt{\left( \dfrac{q}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{p}{3} \right)^3}} + \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} - \sqrt{\left( \dfrac{q}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{p}{3} \right)^3}}$
よって、$h = \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} + \sqrt{\left( \dfrac{q}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{p}{3} \right)^3}} + \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} - \sqrt{\left( \dfrac{q}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{p}{3} \right)^3}} - \dfrac{A}{3}$
ただし、$p = B - \dfrac{A^2}{3}, q = C - \dfrac{AB}{3} + \dfrac{2A^3}{27}$
$A = \dfrac{3ac}{b - a}, B = \dfrac{3a^2 c^2}{(b - a)^2}, C = -\dfrac{12c^2 V}{\pi (b - a)^2}$
3 検算
計算間違いがないかExcelで確認したので多分大丈夫(`・ω・´)・バケツの水量(Excel)
4 追記
$h^3 + \dfrac{3ac}{b - a}h^2 + \dfrac{3a^2 c^2}{(b - a)^2}h - \dfrac{12c^2 V}{\pi (b - a)^2} = 0$ここで$A = \dfrac{3ac}{b - a}, C = -\dfrac{12c^2 V}{\pi (b - a)^2}$とおくと
$h^3 + Ah^2 + \dfrac{A^2}{3}h + C = 0$
$\left( h + \dfrac{A}{3} \right)^3 - 3h \cdot \dfrac{A^2}{3^2} - \dfrac{A^3}{3^3} + \dfrac{A^2}{3}h + C = 0$
$\left( h + \dfrac{A}{3} \right)^3 - \dfrac{A^2}{3}h - \dfrac{A^3}{27} + \dfrac{A^2}{3}h + C = 0$
$\left( h + \dfrac{A}{3} \right)^3 + C - \dfrac{A^3}{27} = 0$
$\left( h + \dfrac{A}{3} \right)^3 = -C + \dfrac{A^3}{27}$
$h + \dfrac{A}{3}$は実数なので
$h + \dfrac{A}{3} = \sqrt[3]{-C + \dfrac{A^3}{27}}$
よって、$h = \sqrt[3]{-C + \dfrac{A^3}{27}} - \dfrac{A}{3} = \sqrt[3]{\dfrac{12c^2 V}{\pi (b - a)^2} + \dfrac{a^3 c^3}{(b - a)^3}} - \dfrac{ac}{b - a}$
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