改めて錐の体積の求め方について考察する。

１　円錐を２等分する方法

　以前、円錐を真横に切って２等分する方法について考察した。
・円錐を真横に切って２等分する方法。：https://tanakah17191928.blogspot.com/2024/09/blog-post_6.html

今回は、改めて錐の体積の求め方について考察してみたい。

２　円錐の体積

　底面の半径が$r$cm、高さが$h$cmの円錐がある。
任意の高さ$x \; (0 \leq x \leq h)$で真横に切ったときの断面積は

$\pi\left( r \cdot \dfrac{h - x}{h} \right)^2 = \pi \cdot \dfrac{r^2 (h - x)^2}{h^2} = \dfrac{\pi r^2}{h^2}(h^2 - 2hx + x^2) = \dfrac{\pi r^2}{h^2}(x^2 - 2hx + h^2)$

　よって、円錐の体積は

$\displaystyle\int_0^h \dfrac{\pi r^2}{h^2}(x^2 - 2hx + h^2) dx = \dfrac{\pi r^2}{h^2}\displaystyle\int_0^h (x^2 - 2hx + h^2) dx$

　$= \dfrac{\pi r^2}{h^2}\left[ \dfrac{x^3}{3} - hx^2 + h^2 x) \right]_0^h = \dfrac{\pi r^2}{h^2}\left( \dfrac{h^3}{3} - h \cdot h^2 + h^2 \cdot h \right)$

　$= \dfrac{\pi r^2}{h^2}\left( \dfrac{h^3}{3} - h^3 + h^3 \right) = \dfrac{\pi r^2}{h^2} \cdot \dfrac{h^3}{3}　= \dfrac{\pi r^2 h}{3}$

３　錐の体積

　底面の面積が$S\mathrm{cm}^2$、高さが$h$cmの錐がある。
任意の高さ$x \; (0 \leq x \leq h)$で真横に切ったときの断面積は

$S \cdot \dfrac{(h - x)^2}{h^2} = S \cdot \dfrac{h^2 - 2hx + x^2}{h^2} = \dfrac{S}{h^2}(x^2 - 2hx + h^2)$

　よって、錐の体積は

$\displaystyle\int_0^h \dfrac{S}{h^2}(x^2 - 2hx + h^2) dx = \dfrac{S}{h^2}\displaystyle\int_0^h (x^2 - 2hx + h^2) dx$

　$= \dfrac{S}{h^2}\left[ \dfrac{x^3}{3} - hx^2 + h^2 x) \right]_0^h = \dfrac{S}{h^2}\left( \dfrac{h^3}{3} - h \cdot h^2 + h^2 \cdot h \right)$

　$= \dfrac{S}{h^2}\left( \dfrac{h^3}{3} - h^3 + h^3 \right) = \dfrac{S}{h^2} \cdot \dfrac{h^3}{3}　= \dfrac{Sh}{3}$

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