複素数と連立（一次）方程式。

１　複素数と一次関数・一次方程式

　以前、複素数と一次関数・一次方程式についての記事を書いた。
・複素数と一次関数、一次方程式。：https://tanakah17191928.blogspot.com/2025/09/blog-post_29.html

今回は、複素数と連立（一次）方程式について考察してみたい。

２　複素数と連立（一次）方程式

　連立（一次）方程式を適当に作って、解いてみる。
以下、$x, y$は実数、$z$は複素数とする。

（１）係数が複素数の場合

$\left\{
\begin{array}{l}
(1): z = (1 + i)(x + yi) + 3 + 2i \\
(2): z = -(2 + 3i)(x + yi) + 1 + 4i
\end{array}
\right.$

$(1 + i)(x + yi) + 3 + 2i = -(2 + 3i)(x + yi) + 1 + 4i$

$(1 + i)(x + yi) + (2 + 3i)(x + yi) = 1 + 4i - 3 - 2i$ 

$(3 + 4i)(x + yi) = -2 + 2i$

$x + yi = \dfrac{-2 + 2i}{3 + 4i} = \dfrac{(-2 + 2i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = \dfrac{-6 + 8i + 6i + 8}{9 + 16} = \dfrac{2 + 14i}{25} = \dfrac{2}{25} + \dfrac{14}{25}i$

　定義域が複素数平面$x + yi$、値域が一次関数の絶対値$|z|$の三次元グラフを描画して考察してみる。

(1)式は$z = x + yi + xi - y + 3 + 2i = (x - y + 3) + (x + y + 2)i$

(2)式は$z = -2x - 2yi - 3xi + 3y + 1 + 4i = (-2x + 3y + 1) + (-3x - 2y + 4)i$

$\left\{
\begin{array}{l}
|z| = \sqrt{(x - y + 3)^2 + (x + y + 2)^2} \\
|z| = \sqrt{(-2x + 3y + 1)^2 + (-3x - 2y + 4)^2}
\end{array}
\right.$

（２）係数が実数の場合

$\left\{
\begin{array}{l}
(3): z = (x + yi) + 3 \\
(4): z = -2(x + yi) + 1
\end{array}
\right.$

$(x + yi) + 3 = -2(x + yi) + 1$

$(1 + 2)(x + yi) = 1 - 3$ 

$3(x + yi) = -2$

$x + yi = -\dfrac{2}{3}$

　定義域が複素数平面$x + yi$、値域が一次関数の絶対値$|z|$の三次元グラフを描画して考察してみる。

(3)式は$z = x + yi + 3 = (x + 3) + yi$

(4)式は$z = -2x - 2yi + 1 = (-2x + 1) + (-2y)i$

$\left\{
\begin{array}{l}
|z| = \sqrt{(x + 3)^2 + y^2} \\
|z| = \sqrt{(-2x + 1)^2 + (-2y)^2}
\end{array}
\right.$

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