だんだん当たりにくくなる異常なガチャ。
１ いろいろなガチャ
以前、ガチャガチャやガチャに関する記事を書いた。・大地震周期説とガチャガチャの数学。：https://tanakah17191928.blogspot.com/2024/09/blog-post_18.html
今回はその続きだけれど、100年の周期とか関係なく、だんだん当たりやすくなるガチャ以外のいろいろなガチャについて考察してみたい。
２ だんだん当たりやすくならない普通のガチャ（ガチャ再考）
（１）今年発生する確率
今が何年でも、今年発生する確率を１％とする。（２）$n$回目に当たる確率
当たる確率が１％のガチャを、毎年１回まわすと考えてみる。１回目に当たる確率は$0.01$、
２回目に当たる確率は$0.99 \times 0.01$、
３回目に当たる確率は$0.99^2 \times 0.01$、
$\vdots$
99回目に当たる確率は$0.99^{98} \times 0.01$、
100回目に当たる確率は$0.99^{99} \times 0.01$である。
$n$を自然数とすると、$n$回目に当たる確率は
$Q_0 (n) = \dfrac{0.99^{n - 1}}{100}$
たとえば、100回目に当たる確率は
$Q_0 (100) = \dfrac{0.99^{99}}{100} = \dfrac{0.369\cdots}{100}$
約0.37％である。
（３）$n$年以内に当たる確率
$n$回以内に当たる確率は、１回目に当たる確率＋２回目に当たる確率＋３回目に当たる確率＋$\cdots$＋$n − 1$回目に当たる確率＋$n$回目に当たる確率である。$\displaystyle\sum_{k = 1}^n \dfrac{0.99^{k - 1}}{100} = \dfrac{1}{100} \cdot \dfrac{0.99^n - 1}{0.99 - 1} = \dfrac{1 - 0.99^n}{100 - 99} = 1 - 0.99^n$
たとえば、100年以内に発生する確率は
$1 - 0.99^{100} = 1 - 0.36603\cdots = 0.63396\cdots$
約63.40％である。
・$\dfrac{1}{N}$の確率のガチャが$N$回以内に当たる確率。：https://tanakah17191928.blogspot.com/2023/09/dfrac1nn.html
３ だんだん当たりにくくなる異常なガチャ
（１）今年発生する確率
以下のように定義してみる。・今が１年の場合、今年大地震が発生する確率を$\dfrac{1}{100}$、２年ならば$\dfrac{1}{101}$、３年ならば$\dfrac{1}{102}$、$\cdots$、99年ならば$\dfrac{1}{198}$、100年ならば$\dfrac{1}{199}$とする。
$n$を自然数とすると、今が$n$年の場合、今年大地震が発生する確率は
$P_1 (n) = \dfrac{1}{n + 99}$
（２）$n$回目に当たる確率
１回目に当たる確率は$\dfrac{1}{100}$２回目に当たる確率は$\dfrac{99}{100} \times \dfrac{1}{101} = \dfrac{99}{100 \cdot 101}$
３回目に当たる確率は$\dfrac{99}{100} \times \dfrac{100}{101} \times \dfrac{1}{102} = \dfrac{99}{101 \cdot 102}$
４回目に当たる確率は$\dfrac{99}{100} \times \dfrac{100}{101} \times \dfrac{101}{102} \times \dfrac{1}{103} = \dfrac{99}{102 \cdot 103}$
$n$を自然数とすると、$n$回目に当たる確率は
$Q_1 (n) = \dfrac{99}{(n + 98)(n + 99)}$
たとえば、100回目に当たる確率は
$Q_1 (100) = \dfrac{99}{(100 + 98)(100 + 99)} = \dfrac{99}{198 \cdot 199} = \dfrac{1}{398} = 0.00251\cdots$
約0.25％である。
（３）$n$年以内に発生する確率
$n$回以内に当たる確率は、１回目に当たる確率＋２回目に当たる確率＋３回目に当たる確率＋$\cdots$＋$n − 1$回目に当たる確率＋$n$回目に当たる確率である。$\displaystyle\sum_{k = 1}^n \dfrac{99}{(k + 98)(k + 99)} = \displaystyle\sum_{k = 1}^n \left\{ \dfrac{99}{k + 98} - \dfrac{99}{k + 99} \right\} = 1 - \dfrac{99}{n + 99} = \dfrac{n + 99 - 99}{n + 99} = \dfrac{n}{n + 99}$
たとえば、100年以内に発生する確率は
$\dfrac{100}{100 + 99} = \dfrac{100}{199} = 0.50251\cdots$
約50.25％である。
４ だんだん当たりにくくなる異常なガチャ（一般化）
（１）今年発生する確率
以下のように定義してみる。・今が１年の場合、今年大地震が発生する確率を$\dfrac{1}{1^k + 99}$、２年ならば$\dfrac{1}{2^k + 99}$、３年ならば$\dfrac{1}{3^k + 99}$、$\cdots$、99年ならば$\dfrac{1}{99^k + 99}$、100年ならば$\dfrac{1}{100^k + 99}$とする。
$n$を自然数とすると、今が$n$年の場合、今年大地震が発生する確率は
$P_k (n) = \dfrac{1}{n^k + 99}$
（２）$n$回目に当たる確率
１回目に当たる確率は$\dfrac{1}{1^k + 99}$２回目に当たる確率は$\dfrac{1^k + 98}{1^k + 99} \times \dfrac{1}{2^k + 99} = \dfrac{1^k + 98}{(1^k + 99)(2^k + 99)}$
３回目に当たる確率は$\dfrac{1^k + 98}{1^k + 99} \times \dfrac{2^k + 98}{2^k + 99} \times \dfrac{1}{3^k + 99} = \dfrac{(1^k + 98)(2^k + 98)}{(1^k + 99)(2^k + 99)(3^k + 99)}$
４回目に当たる確率は$\dfrac{1^k + 98}{1^k + 99} \times \dfrac{2^k + 98}{2^k + 99} \times \dfrac{3^k + 98}{3^k + 99} \times \dfrac{1}{4^k + 99} = \dfrac{(1^k + 98)(2^k + 98)(3^k + 98)}{(1^k + 99)(2^k + 99)(3^k + 99)(4^k + 99)}$
$n$を自然数とすると、$n$回目に当たる確率は
$Q_k (n) = \dfrac{\displaystyle\prod_{m = 1}^{n - 1} (m^k + 98)}{\displaystyle\prod_{m = 1}^n (m^k + 99)}$
（３）$n$年以内に当たる確率
$n$回以内に当たる確率は、１回目に当たる確率＋２回目に当たる確率＋３回目に当たる確率＋$\cdots$＋$n − 1$回目に当たる確率＋$n$回目に当たる確率である。$\displaystyle\sum_{l = 1}^n Q_k (l) = \displaystyle\sum_{l = 1}^n \dfrac{\displaystyle\prod_{m = 1}^{l - 1} (m^k + 98)}{\displaystyle\prod_{m = 1}^l (m^k + 99)}$
５ だんだん当たりにくくなる異常なガチャ（その２）
（１）今年発生する確率
以下のように定義してみる。・今が１年の場合、今年大地震が発生する確率を$\dfrac{1}{r}$、２年ならば$\dfrac{1}{r^2}$、３年ならば$\dfrac{1}{r^3}$、$\cdots$、99年ならば$\dfrac{1}{r^{99}}$、100年ならば$\dfrac{1}{r^{100}}$とする。
$n$を自然数とすると、今が$n$年の場合、今年大地震が発生する確率は
$P_r (n) = \dfrac{1}{r^n}$
（２）$n$回目に当たる確率
１回目に当たる確率は$\dfrac{1}{r}$２回目に当たる確率は$\dfrac{r - 1}{r} \times \dfrac{1}{r^2} = \dfrac{r - 1}{r^3}$
３回目に当たる確率は$\dfrac{r - 1}{r} \times \dfrac{r^2 - 1}{r^2} \times \dfrac{1}{r^3} = \dfrac{(r - 1)(r^2 - 1)}{r^6}$
４回目に当たる確率は$\dfrac{r - 1}{r} \times \dfrac{r^2 - 1}{r^2} \times \dfrac{r^3 - 1}{r^3} \times \dfrac{1}{r^4} = \dfrac{(r - 1)(r^2 - 1)(r^3 - 1)}{r^{10}}$
$n$を自然数とすると、$n$回目に当たる確率は
$Q_r (n) = \dfrac{\displaystyle\prod_{m = 1}^{n - 1} (r^m - 1)}{r^{\frac{n(1 + n)}{2}}}$
（３）$n$年以内に発生する確率
$n$回以内に当たる確率は、１回目に当たる確率＋２回目に当たる確率＋３回目に当たる確率＋$\cdots$＋$n − 1$回目に当たる確率＋$n$回目に当たる確率である。$\displaystyle\sum_{n = 1}^n Q_k (n) = \displaystyle\sum_{n = 1}^n \dfrac{\displaystyle\prod_{m = 1}^{n - 1} (r^m - 1)}{r^{\frac{n(1 + n)}{2}}}$
・ガチャとガチャガチャと大地震（まとめ記事）に戻る。