三次方程式の一般解の導出。
1 カルダノの方法
以前の記事ではカルダノの方法を直接的に使用した。・ 浴槽のお湯は何リットル?:https://tanakah17191928.blogspot.com/2024/09/blog-post.html
・バケツの水は何リットル?:https://tanakah17191928.blogspot.com/2024/09/blog-post_3.html
今回はカルダノの方法により、三次方程式の一般解を導出してみる。
2 立方完成
$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \; (a \neq 0)$$x^3 + \dfrac{b}{a}x^2 + \dfrac{c}{a}x + \dfrac{d}{a} = 0$
$\left( x + \dfrac{b}{3a} \right)^3 - 3x \cdot \dfrac{b^2}{9a^2} - \dfrac{b^3}{27a^3} + \dfrac{c}{a}x + \dfrac{d}{a} = 0$
$\left( x + \dfrac{b}{3a} \right)^3 + \dfrac{c}{a}x - \dfrac{b^2}{3a^2}x + \dfrac{d}{a} - \dfrac{b^3}{27a^3} = 0$
$\left( x + \dfrac{b}{3a} \right)^3 + \left( \dfrac{c}{a} - \dfrac{b^2}{3a^2} \right) x + \dfrac{d}{a} - \dfrac{b^3}{27a^3} = 0$
$\left( x + \dfrac{b}{3a} \right)^3 + \left( \dfrac{c}{a} - \dfrac{b^2}{3a^2} \right) \left( x + \dfrac{b}{3a} \right) - \dfrac{bc}{3a^2} + \dfrac{b^3}{9a^3} + \dfrac{d}{a} - \dfrac{b^3}{27a^3} = 0$
$\left( x + \dfrac{b}{3a} \right)^3 + \left( \dfrac{c}{a} - \dfrac{b^2}{3a^2} \right) \left( x + \dfrac{b}{3a} \right) + \dfrac{d}{a} - \dfrac{bc}{3a^2} + \dfrac{2b^3}{27a^3} = 0$
ここで$X = x + \dfrac{b}{3a}$とおくと
$X^3 + \left( \dfrac{c}{a} - \dfrac{b^2}{3a^2} \right) X + \dfrac{d}{a} - \dfrac{bc}{3a^2} + \dfrac{2b^3}{27a^3} = 0$
3 $X^3 + pX + q = 0$を解く
$p = \dfrac{c}{a} - \dfrac{b^2}{3a^2}, q = \dfrac{d}{a} - \dfrac{bc}{3a^2} + \dfrac{2b^3}{27a^3}$とおくと$X^3 + pX + q = 0$
ここで$X = u + v$とおくと
$\left\{
\begin{array}{l}
u^3 + v^3 + q = 0 \\
3uv + p = 0
\end{array}
\right.$
$\left\{
\begin{array}{l}
u^3 + v^3 = -q \\
u^3 v^3 = -\dfrac{p^3}{27}
\end{array}
\right.$
$u^3, v^3$を解とする二次方程式$t^2 + qt - \dfrac{p^3}{27} = 0$を解くと
$u^3, v^3 = \dfrac{-q \pm \sqrt{q^2 + 4 \cdot \dfrac{p^3}{27}}}{2} = -\dfrac{q}{2} \pm \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}$
4 1の虚立方根を$\omega$とおく
$X = \omega^k \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} + \omega^{3 - k} \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} \; (k = 0, 1, 2)$
$x = -\dfrac{b}{3a} + \omega^k \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} + \omega^{3 - k} \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} \; (k = 0, 1, 2)$
$x = -\dfrac{b}{3a} - \omega^k \sqrt[3]{\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} - \omega^{3 - k} \sqrt[3]{\dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} \; (k = 0, 1, 2)$
よって、$x = -\dfrac{b}{3a} - \sqrt[3]{\dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} - \sqrt[3]{\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}},$
$-\dfrac{b}{3a} - \omega \sqrt[3]{\dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} - \omega^2 \sqrt[3]{\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}},$
$-\dfrac{b}{3a} - \omega^2 \sqrt[3]{\dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} - \omega\sqrt[3]{\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}}$
ただし、$p = \dfrac{c}{a} - \dfrac{b^2}{3a^2}, q = \dfrac{d}{a} - \dfrac{bc}{3a^2} + \dfrac{2b^3}{27a^3}$
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